Четырёхугольник АБСD описан около окружности радиуса r Известно что АБ:СD=2:3 АD:БС=2:1 Найдите страны четырёхугольника если его площадь равна s

Пусть стороны четырёхугольника $ABCD$ равны $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $AD = d$. Так как четырёхугольник описан около окружности, по свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: $a + c = b + d$. По условию задачи имеем соотношения: $a:c = 2:3 \Rightarrow a = 2x, c = 3x$ и $d:b = 2:1 \Rightarrow d = 2y, b = y$. Подставим в условие: $2x + 3x = y + 2y \Rightarrow 5x = 3y \Rightarrow y = \frac{5}{3}x$. Теперь выразим все стороны через $x$: $a = 2x, b = \frac{5}{3}x, c = 3x, d = \frac{10}{3}x$. Площадь описанного четырёхугольника выражается формулой $S = pr$, где $p$ — полупериметр. Полупериметр $p = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{2x + \frac{5}{3}x + 3x + \frac{10}{3}x}{2} = \frac{5x + 5x}{2} = 5x$. Тогда $S = 5x \cdot r \Rightarrow x = \frac{S}{5r}$. Подставим значение $x$ в выражения сторон: $a = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r}$; $b = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{S}{3r}$; $c = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}$; $d = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{3r}$. Ответ: $AB = \frac{2S}{5r}$, $BC = \frac{S}{3r}$, $CD = \frac{3S}{5r}$, $AD = \frac{2S}{3r}$.