1. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

Привет! Давай разберем задачи из билета №5 по геометрии. ### Билет №5 **1. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.** * **Определение:** Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. * **Теорема:** Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. $S_1 / S_2 = k^2$, где $k$ — коэффициент подобия. **2. Трапеция. Определение, виды.** * **Определение:** Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). * **Виды:** * Равнобедренная (равнобокая): боковые стороны равны. * Прямоугольная: один из углов при боковой стороне прямой ($90^\circ$). **3. Вычислите площадь ромба, если одна его сторона равна 10 см, а один из углов равен $30^\circ$.** * Пусть сторона $a = 10$ см, угол $\alpha = 30^\circ$. * Формула площади ромба: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$. * $S = 10^2 \cdot \sin(30^\circ) = 100 \cdot 0,5 = 50$ см$^2$. **Ответ: 50 см$^2$.** **4. В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы AK и ДМ (K, M лежат на BC), которые делят сторону на три равные части. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 20 см.** * Пусть стороны параллелограмма $AB = CD = 20$ см (нам дано), а $AD = BC = x$. * По условию биссектрисы AK и DM делят сторону BC на три равные части. Значит, $BK = KM = MC = x/3$. * Рассмотрим $\triangle ABK$. Так как AK — биссектриса, то $\angle BAK = \angle KAD$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle KAD = \angle AKB$ (накрест лежащие). Значит, $\angle BAK = \angle AKB$, и $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AB = BK = 20$ см. * Так как $BK = x/3$ и $BK = 20$, то $x/3 = 20 \Rightarrow x = 60$ см. * Значит, стороны параллелограмма равны 20 см и 60 см. * Периметр $P = 2 \cdot (20 + 60) = 2 \cdot 80 = 160$ см. **Ответ: 160 см.**