1. Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать в тригонометрической и показательной формах:

Для решения задач по комплексным числам воспользуемся формулами: $z = a + bi = r(\cos \phi + i \sin \phi) = r e^{i \phi}$, где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль, $\phi = \arg z$ — аргумент. ### Задание 1 а) $z = \sqrt{3} - i$. $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi = -\frac{1}{2} \Rightarrow \phi = -\frac{\pi}{6}$. Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$. Показательная форма: $z = 2 e^{-i\frac{\pi}{6}}$. б) $z = 2 \cos \frac{\pi}{3} - 2i \sin \frac{\pi}{3}$. Чтобы привести к стандартному виду $r(\cos \phi + i \sin \phi)$, преобразуем: $\cos \frac{\pi}{3} = \cos(-\frac{\pi}{3})$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3}$. $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$. Показательная форма: $z = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$. ### Задание 2 а) $z = 2 = 2 + 0i$. $\text{Re } z = 2$, $\text{Im } z = 0$, $|z| = 2$, $\arg z = 0$. б) $z = (-4 + 3i)^3 = (-4)^3 + 3(-4)^2(3i) + 3(-4)(3i)^2 + (3i)^3 = -64 + 144i + 108 - 27i = 44 + 117i$. $\text{Re } z = 44$, $\text{Im } z = 117$, $|z| = \sqrt{44^2 + 117^2} = \sqrt{1936 + 13689} = \sqrt{15625} = 125$. $\arg z = \arctan(\frac{117}{44}) \approx 1.21 \text{ рад}$. ### Задание 3 $z_1 = 1 - i\sqrt{3}$, $z_2 = 2 + 4i$. $z_1 + z_2 = (1+2) + i(-\sqrt{3}+4) = 3 + i(4-\sqrt{3})$. $z_1 - z_2 = (1-2) + i(-\sqrt{3}-4) = -1 - i(4+\sqrt{3})$. $z_1 \cdot z_2 = (1 - i\sqrt{3})(2 + 4i) = 2 + 4i - 2i\sqrt{3} - 4i^2\sqrt{3} = (2+4\sqrt{3}) + i(4-2\sqrt{3})$. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2+4i} = \frac{(1-i\sqrt{3})(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)} = \frac{2 - 4i - 2i\sqrt{3} + 4i^2\sqrt{3}}{4 + 16} = \frac{(2-4\sqrt{3}) - i(4+2\sqrt{3})}{20} = \frac{1-2\sqrt{3}}{10} - i\frac{2+\sqrt{3}}{10}$. ### Задание 4 $z = -2 - i$, $\bar{z} = -2 + i$. $z \cdot \bar{z} = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$. $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{-2-i}{-2+i} = \frac{(-2-i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = \frac{4 + 2i + 2i + i^2}{4+1} = \frac{3+4i}{5} = 0.6 + 0.8i$.