7. Выяснить, равносильны ли уравнения

### 7. Выяснение равносильности уравнений 1) $|2x - 1| = 3$ и $2x - 1 = 3$ Решим первое: $2x - 1 = 3$ ($x = 2$) или $2x - 1 = -3$ ($x = -1$). Корни: $\{-1; 2\}$. Решим второе: $2x - 1 = 3$ ($x = 2$). Корень: $\{2\}$. **Ответ: Неравносильны.** 2) $\frac{3x-2}{3} - \frac{4-x}{2} - \frac{3x-5}{6} = 2x-2$ и $2x+3 = \frac{10}{3}$ Приведем первое уравнение к общему знаменателю $6$: $2(3x-2) - 3(4-x) - (3x-5) = 6(2x-2)$. $6x - 4 - 12 + 3x - 3x + 5 = 12x - 12$. $6x - 11 = 12x - 12 \Rightarrow -6x = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{6}$. Второе уравнение: $2x = \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{6}$. **Ответ: Равносильны.** ### 8. Выяснение равносильности 1) $2x - 1 = 4 - 1.5x$ и $3.5x - 5 = 0$ Оба уравнения приводятся к $3.5x = 5$. $x = \frac{5}{3.5} = \frac{10}{7}$. **Ответ: Равносильны.** 2) $x(x - 1) = 2x + 5$ и $x^2 - 3x - 5 = 0$ Первое: $x^2 - x = 2x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 5 = 0$. **Ответ: Равносильны.** 3) $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x + 1 = -3$ Степени с одинаковыми основаниями равны, значит показатели равны. **Ответ: Равносильны.** 4) $\sqrt{x+2} = 3$ и $x + 2 = 9$ Оба уравнения дают $x+2=9 \Rightarrow x=7$. В первом уравнении проверка: $\sqrt{7+2} = 3$ (верно). **Ответ: Равносильны.** ### 9. Следствие уравнений 1) $|x| = \sqrt{5}$ и $\sqrt{x^2} = 5$ Первое: $x = \pm \sqrt{5}$. Второе: $|x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$. Ни одно не является следствием другого. 2) $\frac{x-2}{x+3} = \frac{x-3}{x+2}$ и $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3)$ Первое: $(x-2)(x+2) = (x-3)(x+3) \Rightarrow x^2-4 = x^2-9 \Rightarrow -4 = -9$ (корней нет). Второе: $x^2-4 = x^2-9$ (корней нет). Так как у обоих уравнений пустое множество решений, они равносильны, а значит, каждое является следствием другого. ### 10. Решение уравнения $\frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2}$ Общий знаменатель: $(3x-1)(3x+1)$. Заметим, что $1-9x^2 = -(3x-1)(3x+1)$. $(3x-1) - 2(3x+1) - 5x = -3x^2$. $3x - 1 - 6x - 2 - 5x = -3x^2 \Rightarrow 3x^2 - 8x - 3 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 100$. $x = \frac{8 \pm 10}{6}$. $x_1 = 3$, $x_2 = -1/3$. Так как $x \neq \pm 1/3$, корень $x_2$ — посторонний. **Ответ: 3.** ### 11. Корни уравнений 1) $\frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2+5}{x^2-1} - 5$ $3(x+1) - (4x-1)(x-1) = x^2+5 - 5(x^2-1)$. $3x + 3 - (4x^2 - 5x + 1) = x^2 + 5 - 5x^2 + 5$. $-4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$. ОДЗ: $x \neq \pm 1$. $x=1$ — посторонний корень. **Ответ: Корней нет.** 2) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2}$ Умножим на $(x^2-4)$, учитывая $4-x^2 = -(x^2-4)$: $(x+2)^2 - (x^2-4x) = (x-2)^2 + 4(3+x)$. $x^2+4x+4 - x^2+4x = x^2-4x+4 + 12 + 4x$. $8x+4 = x^2 + 16 \Rightarrow x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета $x=2$ и $x=6$. Так как $x \neq \pm 2$, $x=2$ — посторонний. **Ответ: 6.** ### 12. Решение неравенств 1) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2$ $-x^3 - 2x^2 - 2x - 4 > 0 \Rightarrow x^3 + 2x^2 + 2x + 4 < 0$. $x^2(x+2) + 2(x+2) < 0 \Rightarrow (x^2+2)(x+2) < 0$. Так как $x^2+2 > 0$ всегда, то $x+2 < 0$. **Ответ: $(-\infty; -2)$.** 2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4$ $4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 > 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$. $x^2(x-1) - 4(x-1) > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(x-1) > 0$. Метод интервалов: **Ответ: $(-2; 1) \cup (2; +\infty)$.**