Контрольная работа № 3 по теме «Параллельные прямые». Вариант 1. 1. Параллельные прямые AB и CD пересекаются с прямой EF в точках M и N соответственно. $\angle AMN$ на $30^\circ$ больше $\angle CNM$. Найдите $\angle AMN, \angle CNM$.

### Решение контрольной работы №3 **Задача 1** Так как прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая EF является секущей, то односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают $180^\circ$ (или можно рассмотреть накрест лежащие, если углы обозначены не совсем стандартно, но обычно в таких задачах углы $\angle AMN$ и $\angle CNM$ — это внутренние односторонние или накрест лежащие; судя по формулировке, речь идет о сумме $180^\circ$ для внутренних односторонних, либо равенстве накрест лежащих. В условии сказано, что один больше другого, значит они не равны. Скорее всего, это внутренние односторонние углы). Пусть $\angle CNM = x$, тогда $\angle AMN = x + 30^\circ$. Их сумма: $x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$. $2x = 150^\circ \implies x = 75^\circ$. $\angle CNM = 75^\circ$, $\angle AMN = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$. **Ответ: $75^\circ, 105^\circ$.** **Задача 2** 1. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Угол 5 и угол 4 — соответственные (или накрест лежащие, судя по рисунку). На рисунке $\angle 5 = 80^\circ$ и $\angle 4 = 80^\circ$, что подтверждает параллельность $a \parallel b$. 2. $\angle 1$ и $\angle 3$ — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных $a, b$ и секущей, поэтому $\angle 1 = \angle 3 = 125^\circ$. 3. Угол 2 и угол 3 смежные (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов $180^\circ$. $\angle 2 = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$. **Ответ: $\angle 1 = 125^\circ, \angle 2 = 55^\circ$.** **Задача 3** 1. Дано: $\angle 1 = \angle 2$. Так как это внутренние накрест лежащие углы, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). 2. $\angle 3$ и $\angle 4$ — внутренние односторонние при параллельных прямых, их сумма $180^\circ$. 3. Пусть $\angle 3 = x$, тогда $\angle 4 = 4x$ (так как $\angle 3$ в 4 раза меньше $\angle 4$). $x + 4x = 180^\circ \implies 5x = 180^\circ \implies x = 36^\circ$. $\angle 3 = 36^\circ$, $\angle 4 = 36^\circ \times 4 = 144^\circ$. **Ответ: $\angle 3 = 36^\circ, \angle 4 = 144^\circ$.** **Задача 4** 1. $DM$ — биссектриса, значит $\angle CDM = \angle NDM = 74^\circ / 2 = 37^\circ$. 2. По условию $DN = MN$. Значит, треугольник $DMN$ — равнобедренный с основанием $DM$. 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MDN = \angle DMN = 37^\circ$. 4. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Угол при вершине $N$: $\angle DNM = 180^\circ - (37^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$. **Ответ: $37^\circ, 37^\circ, 106^\circ$.**