На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки A, B и C. Найдите сумму углов ABC и CAB. Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи построим треугольник $ABC$ на клетчатой бумаге. Заметим координаты точек, приняв за начало координат (0,0) точку, находящуюся на 2 клетки левее и на 1 клетку ниже точки $B$ (или просто посчитаем векторы по клеткам). 1. Пусть точка $B$ находится в $(0, 3)$, точка $A$ находится в $(5, 0)$, точка $C$ находится в $(4, 3)$ относительно начала координат в левом нижнем углу прямоугольника. - Сторона $BC$ лежит на горизонтальной прямой, длина $BC = 4 - 0 = 4$ клетки. - Вектор $BA = (5 - 0, 0 - 3) = (5, -3)$. - Вектор $BC = (4 - 0, 3 - 3) = (4, 0)$. 2. Угол $ABC$ — это угол между вектором $BA$ и вектором $BC$. Так как $BC$ направлен горизонтально вправо, этот угол равен углу наклона вектора $BA$ к горизонтали (взятому по модулю). $\tan(\angle ABC) = \frac{|y_A - y_B|}{|x_A - x_B|} = \frac{|0 - 3|}{|5 - 0|} = \frac{3}{5} = 0,6$. $\angle ABC = \arctan(0,6)$. 3. Вектор $AC = (4 - 5, 3 - 0) = (-1, 3)$. Вектор $AB = (0 - 5, 3 - 0) = (-5, 3)$. Угол $CAB$ — угол между вектором $AC$ и вектором $AB$. $\tan(\angle CAB)$ можно найти через тангенс угла между прямыми или используя скалярное произведение, но проще заметить следующее: Треугольник $ABC$ можно дополнить до прямоугольного треугольника с вершинами $(0,3)$, $(5,3)$, $(5,0)$. Пусть $\alpha = \angle CAB$, $\beta = \angle ABC$, $\gamma = \angle BCA$. В прямоугольном треугольнике с катетами $3$ и $5$ (где вершины $(0,3), (5,3), (5,0)$) тангенс острого угла равен $3/5$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. Угол $BCA$ — это угол при вершине $C$, он тупой, так как $A$ лежит правее $C$. Тангенс $180 - \angle BCA = 3/1 = 3$. Сумма углов $\angle ABC + \angle CAB + \angle BCA = 180^\circ$. Заметим, что $\angle ABC$ и $\angle CAB$ — это углы треугольника со сторонами: $BC=4$, $AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$, $AB = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$. По теореме синусов или косинусов: $\cos(\angle ABC) = \frac{4^2 + (\sqrt{34})^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{34}} = \frac{16+34-10}{8\sqrt{34}} = \frac{40}{8\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}}$. $\sin(\angle ABC) = \frac{3}{\sqrt{34}}$. $\cos(\angle CAB) = \frac{5^2 + (\sqrt{34})^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{34}} = \frac{25+34-16}{10\sqrt{34}} = \frac{43}{10\sqrt{34}}$. $\sin(\angle CAB) = \frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{5}{5} = \dots$ Проще: $\angle ABC + \angle CAB = 180^\circ - \angle BCA$. Угол $BCA$ — тупой. Его смежный угол — это угол внутри прямоугольного треугольника с катетами $1$ и $3$. Пусть это $\alpha'$. $\tan(\alpha') = 3/1 = 3$. Тогда $\angle BCA = 180^\circ - \arctan(3)$. Сумма $\angle ABC + \angle CAB = 180^\circ - (180^\circ - \arctan(3)) = \arctan(3)$. Значение $\arctan(3) \approx 71,57^\circ$. Однако, в школьных задачах такого типа часто требуется ответ в целых градусах или конкретное геометрическое свойство. Перепроверим векторы: $B=(0,3), C=(4,3), A=(5,0)$. Угол $B$ в треугольнике с вершинами $(0,3), (4,3), (5,0)$: Вектор $BA = (5,-3)$. Вектор $BC = (4,0)$. $\cos B = \frac{20}{4\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}}$. Угол $A$ в треугольнике с вершинами $(0,3), (4,3), (5,0)$: Вектор $AB = (-5,3)$. Вектор $AC = (-1,3)$. $\cos A = \frac{5+9}{\sqrt{34}\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{340}} = \frac{14}{2\sqrt{85}} = \frac{7}{\sqrt{85}}$. Видимо, в условии подразумевается использование свойств углов. Сумма $\angle ABC + \angle CAB = 180^\circ - \angle BCA = \arctan(3)$. Ответ: $\arctan(3)$ градусов.