№ 1. На рисунке 68 точка O – центр окружности, ∠BOC=40⁰. Найдите угол OBD.

### Решение заданий **№ 1. Нахождение угла OBD** Рассмотрим треугольник $\triangle OBD$. В нем стороны $OB$ и $OD$ являются радиусами одной окружности, значит $OB=OD$. Следовательно, треугольник $\triangle OBD$ — равнобедренный с основанием $BD$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OBD = \angle ODB$. По условию $\angle BOC = 40^\circ$. Если предположить, что точки $C, O, D$ лежат на одной прямой (диаметр), то $\angle BOD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Тогда $\angle OBD = (180^\circ - 140^\circ) / 2 = 20^\circ$. **Ответ: $20^\circ$** **№ 2. Нахождение отрезка FK** Дано: окружность с центром $O$, радиус $R = OK = 14$ см. $FK$ — касательная, значит, радиус $OK$ перпендикулярен касательной $FK$ ($OK \perp FK$), следовательно, $\angle OKF = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OFK$ (где $\angle K = 90^\circ$). Так как в задаче не указана гипотенуза $OF$, но задан угол $\angle FOK = 45^\circ$, а сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle OFK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник $\triangle OFK$ равнобедренный, и $FK = OK = 14$ см. **Ответ: $14$ см** **№ 3. Доказательство равенства хорд** Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle BOD$: 1. $OB = OD$ (как радиусы одной окружности). 2. $OB = OC$ (как радиусы одной окружности). 3. $\angle BOC = \angle BOD$ (по условию). Так как две стороны и угол между ними у этих треугольников равны, то $\triangle BOC = \triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BC = BD$, что и требовалось доказать. **№ 4. Построение** Для построения равностороннего треугольника: 1. Проведите прямую и отметьте на ней точку $A$. 2. Раствором циркуля, равным стороне треугольника, сделайте засечку на прямой — точка $B$. 3. Не меняя раствора циркуля, поставьте иглу в точку $A$ и проведите дугу, затем из точки $B$ проведите дугу тем же радиусом до пересечения с первой в точке $C$. 4. Соедините $A, B$ и $C$. Для биссектрисы угла $A$: проведите дугу из точки $A$ до пересечения со сторонами $AB$ и $AC$, из точек пересечения проведите две дуги одинаковым радиусом до их встречи, соедините полученную точку с вершиной $A$.