Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения dy/dx = (3x^2 + 1)e^{-y}, если y(1)=0.

Accepted Answer

Решение задания 2

Дано уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 1)e^{-y}$, с условием $y(1) = 0$.

1. Разделим переменные:
   $e^y dy = (3x^2 + 1) dx$

2. Интегрируем обе части:
   $\int e^y dy = \int (3x^2 + 1) dx$
   $e^y = x^3 + x + C$

3. Найдем константу $C$, подставив $x=1$ и $y=0$:
   $e^0 = 1^3 + 1 + C$
   $1 = 2 + C \Rightarrow C = -1$

4. Итоговое частное решение:
   $e^y = x^3 + x - 1$
   $y = \ln(x^3 + x - 1)$

Ответ: $y = \ln(x^3 + x - 1)$

Решение задания 3

Общее решение $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ соответствует корням характеристического уравнения $k = \alpha \pm i\beta$.

1. В нашем случае $\alpha = 2$, $\beta = 2$. Корни характеристического уравнения: $k = 2 \pm 2i$.

2. Характеристическое уравнение имеет вид $(k - (2 + 2i))(k - (2 - 2i)) = 0$.
   Раскроем скобки:
   $((k - 2) - 2i)((k - 2) + 2i) = 0$
   $(k - 2)^2 - (2i)^2 = 0$
   $k^2 - 4k + 4 - 4(-1) = 0$
   $k^2 - 4k + 8 = 0$

3. Переходим к дифференциальному уравнению:
   $y'' - 4y' + 8y = 0$

Ответ: $y'' - 4y' + 8y = 0$

Найдите частное решение дифференциального уравнения dy/dx = (3x^2 + 1)e^{-y}, если y(1)=0.

Ответ ассистента

Другие решения