В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 30°. Найдите угол ВАН.

### Решение задания 8 Дано: $\triangle ABC$, $AB = BC$. $AH$ — высота, опущенная на прямую $BC$. $\angle BCA = 30^{\circ}$. 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ (исходя из рисунка, где $AB=BC$, значит угол при вершине $B$, углы при основании $A$ и $C$ равны), то $\angle BAC = \angle BCA = 30^{\circ}$. 2. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Тогда $\angle ABC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. 3. Рассмотрим $\triangle ABH$. Это прямоугольный треугольник, где $\angle AHB = 90^{\circ}$. 4. Внешний угол $\angle ABC$ равен $120^{\circ}$, значит смежный с ним внутренний угол $\angle ABH = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Тогда $\angle BAH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. **Ответ: 30** ### Решение задания 9 1. **На каком расстоянии от пункта А автомобиль и велосипедист встретились?** На графике точка пересечения графиков движения (1 — велосипедист, 2 — автомобиль) находится на пересечении вертикальной линии, соответствующей времени, и горизонтальной линии расстояния. Координаты точки пересечения: время 11 ч (по горизонтали), расстояние 70 км (по вертикали, так как каждое деление по вертикали — 10 км, 7 делений от 0 до пересечения). Ответ: 70 км. 2. **На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.** Автомобиль был в пути 4 часа (с 10 до 14 часов), находился в пункте Б (120 км от А). Затем поехал обратно с той же скоростью. Скорость автомобиля: $120 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 30 \text{ км/ч}$. Чтобы проехать 120 км обратно со скоростью 30 км/ч, потребуется $120 / 30 = 4$ часа. Автомобиль начал обратный путь в 14:00 и прибудет в пункт А в 18:00. На графике: из точки (14; 120) нужно провести отрезок до точки (18; 0).