I. В задачах 1 – 2 найти частные производные функций, в задачах 3 – 4 найти полные дифференциалы функций.

Привет! Давай разберем эти задачи на нахождение частных производных и полных дифференциалов. Вспомним правила: при нахождении частной производной по одной переменной, остальные считаются константами. ### Задачи 1–2: Частные производные **1. $z = x^2y + xy^2$** Находим частные производные по $x$ и $y$: $\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^2$ $\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2xy$ **2. $u = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$** Используем правило дифференцирования сложной функции: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ Аналогично для $y$ и $z$: $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$, $\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ ### Задачи 3–4: Полные дифференциалы Полный дифференциал функции $f(x, y)$ вычисляется по формуле $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$. **3. $z = \frac{x}{y}$** $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$ Тогда полный дифференциал: $dz = \frac{1}{y} dx - \frac{x}{y^2} dy$ **4. $u = x^3 - 4x^2y + 5z$** Здесь функция трех переменных $u(x, y, z)$. Формула: $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz$. $\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 8xy$ $\frac{\partial u}{\partial y} = -4x^2$ $\frac{\partial u}{\partial z} = 5$ Итоговый дифференциал: $du = (3x^2 - 8xy) dx - 4x^2 dy + 5 dz$