1) Упростите выражение 7/(3x-1) - 5/(2x-1) : (3x-1)/(4x^2-1)

### 1) Упростите выражение $\frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} = \frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 5(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 10x - 5}{3x-1} = \frac{2 - 10x}{3x-1}$ ### 2) Решить уравнения: а) $5x^2 - 2x - 3 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$ $x_1 = \frac{2 + 8}{10} = 1, x_2 = \frac{2 - 8}{10} = -0,6$ б) $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$ Пусть $x^2 = t, t \geq 0$. Тогда $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -3$ (не подходит), $t_2 = 1$. $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ в) $\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2$ $8x - 10(x-3) = 2x(x-3)$ $8x - 10x + 30 = 2x^2 - 6x$ $2x^2 - 4x - 30 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0$ Корни: $x_1 = 5, x_2 = -3$. Проверка: оба корня подходят. г) $\sqrt{7x^2 + 3x} = 2x - 2$ Возведем в квадрат (при условии $2x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$): $7x^2 + 3x = 4x^2 - 8x + 4$ $3x^2 + 11x - 4 = 0$ $D = 121 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $x_1 = \frac{-11+13}{6} = \frac{1}{3}$ (не подходит, $x < 1$), $x_2 = \frac{-11-13}{6} = -4$ (не подходит). Ответ: корней нет. ### 3) Решить неравенства: а) $3(1 - x) \leq 2 \Rightarrow 3 - 3x \leq 2 \Rightarrow -3x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}$ б) $-x^2 + 3x - 2 < 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 > 0$. Корни $1$ и $2$. Решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ в) $\frac{x-4}{2} < 3 + \frac{x-1}{5} \Rightarrow 5(x-4) < 30 + 2(x-1) \Rightarrow 5x - 20 < 30 + 2x - 2 \Rightarrow 3x < 48 \Rightarrow x < 16$ ### 4) График функции :::div .chart-container @chart-1::: Для построения: при $x \in [-1; 1]$ строим параболу $\frac{1}{2}(x-1)^2+1$, а при $x \in (1; 4]$ строим $x-1+1 = x$ (так как $x-1 > 0$). ### 5) Задача Пусть скорость первого велосипедиста $v$ км/ч, тогда второго — $(v+2)$ км/ч. Суммарная скорость: $v + v + 2 = 2v + 2$ км/ч. Расстояние 60 км, время 2 часа. $2(2v+2) = 60 \Rightarrow 4v + 4 = 60 \Rightarrow 4v = 56 \Rightarrow v = 14$. Скорости: 14 км/ч и 16 км/ч.