№ 45с. К потолку комнаты высотой 3 м прикреплена люминесцентная лампа длиной 1,5 м. На высоте 1,5 м от пола параллельно полу расположен непрозрачный круглый диск диаметром 1,5 м. Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали. Определите минимальный размер тени диска на полу.

Для решения задачи воспользуемся подобием треугольников, образующихся при прохождении света мимо краев диска. **Дано:** - Высота потолка: $H = 3$ м. - Длина лампы: $L = 1,5$ м. - Высота расположения диска от пола: $h = 1,5$ м. - Диаметр диска: $D = 1,5$ м. - Расстояние от лампы до диска: $h_1 = H - h = 3 - 1,5 = 1,5$ м. - Расстояние от диска до пола: $h_2 = h = 1,5$ м. **Решение:** 1. Лампа представляет собой протяженный источник света. Тени от него будут иметь как полную тень (umbra), так и полутень (penumbra). В задаче просят найти минимальный размер тени на полу. 2. Минимальный размер (полная тень) образуется, когда мы рассматриваем лучи от краев источника, пересекающиеся «крест-накрест» за диском. 3. Рассмотрим сечение, проходящее через центры лампы и диска. Из подобия треугольников (или по теореме Фалеса для трапеции, образуемой крайними лучами): Отношение диаметра тени ($D_{ten}$) к длине лампы ($L$) равно отношению расстояния от диска до пола ($h_2$) к расстоянию от лампы до диска ($h_1$). Однако, для полной тени (когда лампа освещает диск) используется соотношение: $\frac{D_{ten} + D}{L + D} = \frac{h_2}{h_1}$ — это не совсем верно для протяженного источника. Правильнее рассмотреть крайние точки: лучи, идущие от левого края лампы к правому краю диска и наоборот. Геометрически полная тень образуется сходящимся конусом. Обозначим $D_{umbra}$ как диаметр полной тени: $\frac{D - D_{umbra}}{L} = \frac{h_2}{h_1} \Rightarrow D_{umbra} = D - L \cdot \frac{h_2}{h_1}$ В нашем случае $h_1 = 1,5$ м и $h_2 = 1,5$ м, значит отношение $\frac{h_2}{h_1} = 1$. $D_{umbra} = 1,5 - 1,5 \cdot 1 = 0$. Это означает, что полная тень вырождается в точку (так как расстояния до диска и от диска до пола равны, а размеры лампы и диска совпадают). **Ответ:** Минимальный размер тени (полная тень) равен 0 м (точка).