Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, ∠AOC = 80°, ∠C : ∠A = 3 : 4. Найдите градусные меры дуг AB, AC, BC.

### Задача 1 1. **Нахождение градусной меры дуги AC:** Центральный угол $\angle AOC = 80^{\circ}$ опирается на дугу $AC$. Следовательно, градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере центрального угла: $\text{дуга } AC = 80^{\circ}$. 2. **Нахождение углов треугольника C и A:** Углы $\angle C$ и $\angle A$ — это вписанные углы. Согласно теореме о вписанном угле, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. * $\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB$ * $\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC$ По условию $\angle C : \angle A = 3 : 4$, значит $\frac{1}{2} \text{дуга } AB : \frac{1}{2} \text{дуга } BC = 3 : 4$, откуда $\text{дуга } AB : \text{дуга } BC = 3 : 4$. Пусть $\text{дуга } AB = 3x$, а $\text{дуга } BC = 4x$. 3. **Использование суммы углов окружности:** Сумма всех дуг окружности равна $360^{\circ}$: $\text{дуга } AC + \text{дуга } AB + \text{дуга } BC = 360^{\circ}$ $80^{\circ} + 3x + 4x = 360^{\circ}$ $7x = 280^{\circ}$ $x = 40^{\circ}$ Тогда: * $\text{дуга } AB = 3 \cdot 40^{\circ} = 120^{\circ}$ * $\text{дуга } BC = 4 \cdot 40^{\circ} = 160^{\circ}$ **Ответ:** дуга $AB = 120^{\circ}$, дуга $AC = 80^{\circ}$, дуга $BC = 160^{\circ}$. ### Задача 2 1. **Использование свойства пересекающихся хорд:** Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$. 2. **Вычисление:** * $AE = 8 \text{ см}$, $BE = 6 \text{ см}$, значит $AE \cdot EB = 8 \cdot 6 = 48$. * Пусть $CE = x$, тогда $ED = CD - CE = 16 - x$. * Уравнение: $x(16 - x) = 48$ $16x - x^2 = 48$ $x^2 - 16x + 48 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64 = 8^2$ $x_1 = \frac{16 + 8}{2} = 12$ $x_2 = \frac{16 - 8}{2} = 4$ Получили, что отрезки хорды $CD$ равны $4 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$. Отношение может быть $4:12 = 1:3$ или $12:4 = 3:1$. **Ответ:** в отношении $1:3$ или $3:1$.