В треугольнике ABC угол А равен 46°, внешний угол при вершине В равен 115°. Найти градусную меру угла С.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии из твоего списка. 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Пусть $\angle B_{ext} = 115^\circ$ — внешний угол. Тогда $\angle A + \angle C = 115^\circ$. Так как $\angle A = 46^\circ$, то $\angle C = 115^\circ - 46^\circ = 69^\circ$. 2. Сумма внешних углов при вершинах B и C равна $105^\circ + 145^\circ = 250^\circ$. Внутренние углы тогда равны $(180^\circ - 105^\circ) = 75^\circ$ и $(180^\circ - 145^\circ) = 35^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит $\angle A = 180^\circ - (75^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 3. Внутренний угол при вершине B равен $180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$. Так как $AC=BC$, то треугольник равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны, значит $\angle A = \angle B = 69^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - (69^\circ + 69^\circ) = 42^\circ$. 4. В треугольнике $AC=BC$, значит углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ$. Внешний угол при вершине B смежен с $\angle B$, значит он равен $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. 5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB$ — основание) $\angle C = 28^\circ$. Тогда углы при основании $\angle A = \angle B = (180^\circ - 28^\circ) / 2 = 76^\circ$. Высота $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$ образует прямоугольный треугольник $AHC$, где $\angle AHC = 90^\circ$. Тогда $\angle HAC = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$. Искомый угол между стороной $AB$ и высотой $AH$ равен $\angle A - \angle HAC = 76^\circ - 62^\circ = 14^\circ$. 6. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB$ — основание) $\angle B = 34^\circ$. Значит $\angle A = 34^\circ$. Тогда угол при вершине $\angle C = 180^\circ - 34^\circ - 34^\circ = 112^\circ$. Высота $AH$ падает на сторону $BC$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ (угол $AHC = 90^\circ$), угол $\angle HAC = 90^\circ - 112^\circ$ невозможен, значит высота падает на продолжение стороны $BC$. Угол $\angle HAB$ равен $90^\circ - \angle B = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$. 7. $\angle C = 45^\circ$, значит $\angle A + \angle B = 135^\circ$. $AD$ — биссектриса, $\angle BAD = \angle DAC = 40^\circ$, значит $\angle A = 80^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 80^\circ = 55^\circ$. В треугольнике $ABD$: $\angle ADB = 180^\circ - 40^\circ - 55^\circ = 85^\circ$. 9. Углы относятся как $2:3:7$, пусть одна часть $x$. Тогда $2x + 3x + 7x = 180^\circ$, $12x = 180^\circ$, $x = 15^\circ$. Меньший угол равен $2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.