Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) AA1, CC1, BB1; б) AB, AD, AA1; в) B1B, AC, DD1; г) AD, CC1, A1B1?

### Решение задачи 355 Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. a) $\vec{AA_1}, \vec{CC_1}, \vec{BB_1}$ — данные векторы коллинеарны (все параллельны ребру $AA_1$), а значит, они лежат на параллельных прямых. Любые коллинеарные векторы компланарны. **Ответ: Да.** б) $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}$ — эти векторы лежат на ребрах параллелепипеда, выходящих из одной вершины $A$. Они не лежат в одной плоскости (образуют базис пространства). **Ответ: Нет.** в) $\vec{B_1B}, \vec{AC}, \vec{DD_1}$ — векторы $\vec{B_1B}$ и $\vec{DD_1}$ параллельны ребру $AA_1$. Вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости нижнего основания. Поскольку $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания (или просто пересекает её), векторы $\vec{B_1B}$ и $\vec{DD_1}$ параллельны плоскости, содержащей $AA_1$ и $CC_1$, но вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости основания. Любые три вектора, где два параллельны одной прямой, а третий лежит в другой плоскости, компланарны, если плоскость, проходящая через первые два, параллельна третьему. Здесь $\vec{B_1B} \parallel \vec{DD_1}$, они образуют плоскость, параллельную $AA_1CC_1$. Вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Следовательно, они компланарны. **Ответ: Да.** г) $\vec{AD}, \vec{CC_1}, \vec{A_1B_1}$ — $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$. $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ лежат в плоскости основания. $\vec{CC_1}$ перпендикулярен основанию (в прямоугольном параллелепипеде) или просто параллелен боковым ребрам. В общем случае параллелепипеда, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ лежат в плоскости $(ABCD)$. Вектор $\vec{CC_1}$ не лежит в этой плоскости и не параллелен ей. **Ответ: Нет.** ### Решение задачи 356 1. Доказательство $2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$: Известно, что $\vec{FE} = \vec{FA} + \vec{AE}$ (по правилу треугольника). Так как $F$ — середина $BD$, то $\vec{FA} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DA})$. Так как $E$ — середина $AC$, то $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{DC})$. Тогда $\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DA} + \vec{AD} + \vec{DC})$. Так как $\vec{DA} = -\vec{AD}$, они сокращаются: $\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DC}) \implies 2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$. 2. Компланарны ли векторы $\vec{FE}, \vec{BA}, \vec{DC}$? Да, так как вектор $\vec{FE}$ выражается через линейную комбинацию векторов $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ ($2\vec{FE} = 1\cdot\vec{BA} + 1\cdot\vec{DC}$), это означает, что вектор $\vec{FE}$ лежит в плоскости, определяемой векторами $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ (или они лежат в одной плоскости).