№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите углы при основании.

Привет! Давай решим задачи по геометрии. ### № 1 Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Значит, сумма углов при основании равна $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $60^\circ / 2 = 30^\circ$. **Ответ:** $30^\circ$. ### № 2 Дано: $\triangle ABC$, $MK \parallel AC$, $AK$ — биссектриса $\angle MAC$, $\angle MAC = 80^\circ$. 1. $AK$ — биссектриса $\angle MAC$, значит $\angle KAC = \angle MAK = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. 2. $MK \parallel AC$, значит $\angle MKA = \angle KAC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AK$). 3. Следовательно, $\angle MKA = 40^\circ$. **Ответ:** $40^\circ$. ### № 3 Дано: $\triangle ABC$, $D \in AC$, $AB = BD = DC$, $DF$ — медиана $\triangle BDC$, $\angle FDC = 65^\circ$. 1. В $\triangle BDC$ сторона $BD = DC$, значит он равнобедренный. 2. $DF$ — медиана к основанию $BC$ в $\triangle BDC$, следовательно, $DF$ также является высотой, значит $\angle DFC = 90^\circ$. 3. В $\triangle DFC$ сумма углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$. 4. В $\triangle BDC$ углы при основании равны: $\angle DBC = \angle C = 25^\circ$. Тогда $\angle BDC = 180^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 130^\circ$. 5. Так как $\angle BDA$ смежный с $\angle BDC$, то $\angle BDA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. 6. В $\triangle ABD$ стороны $AB = BD$, значит он равнобедренный, $\angle A = \angle BDA = 50^\circ$. **Ответ:** $50^\circ$. ### № 4 Дано: $\triangle ACB$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), $CD \perp AB$, $\angle CBA = 30^\circ$, $AD = 4$ см. 1. В прямоугольном $\triangle ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$), угол $\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - \angle ACD$. Так как $\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$, то $\angle ACD = 30^\circ$. 2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle ADC$ катет $AD$ лежит против угла $\angle ACD = 30^\circ$. Значит, гипотенуза $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 4 = 8$ см. 3. В исходном $\triangle ACB$ катет $AC$ лежит против угла $\angle B = 30^\circ$. Значит, гипотенуза $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 8 = 16$ см. **Ответ:** 16 см.