1 - tg(π/4 - x) = 2cos x / (sin x + cos x)

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$. 1. Раскроем тангенс: $\tan(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan x}{1 + \tan(\frac{\pi}{4}) \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. 2. Подставим в уравнение: $1 - \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \frac{2\cos x}{\sin x + \cos x}$. 3. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{1 + \tan x - (1 - \tan x)}{1 + \tan x} = \frac{2\tan x}{1 + \tan x}$. 4. Вспомним, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, тогда знаменатель $1 + \tan x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}$. 5. Подставим это обратно: $\frac{2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} = \frac{2\sin x}{\cos x + \sin x}$. 6. Приравняем к правой части: $\frac{2\sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{2\cos x}{\sin x + \cos x}$. Так как знаменатели равны и не равны нулю (при условии $\sin x + \cos x \neq 0$), имеем: $2\sin x = 2\cos x$ $\sin x = \cos x$ $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Условие $\sin x + \cos x \neq 0$ выполняется, так как $\sin(\frac{\pi}{4} + \pi k) + \cos(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm\sqrt{2} \neq 0$. **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**