1. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Все они основаны на свойствах радиусов, диаметра, центральных и вписанных углов. ### Задача 1 В окружности $AD$ и $BC$ — диаметры. Значит, $OA = OB = OC = OD$ (это радиусы). Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB$. Значит, углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB = 70^\circ$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$. Углы $AOB$ и $COD$ — вертикальные, поэтому они равны: $\angle COD = \angle AOB = 40^\circ$. Треугольник $COD$ равнобедренный ($OC = OD$), значит, $\angle OCD = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. **Ответ: 70°** ### Задача 2 Аналогично первой задаче: $\triangle COD$ равнобедренный, $\angle OCD = 30^\circ$. Тогда $\angle COD = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$. Вертикальный угол $\angle AOB = 120^\circ$. В равнобедренном $\triangle AOB$ угол $\angle OAB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. **Ответ: 30°** ### Задача 3 $NP$ — диаметр, значит $O$ лежит на $NP$. $\triangle MON$ равнобедренный ($OM = ON$ как радиусы). Угол $\angle MNP = 18^\circ$ (это то же самое, что $\angle ONM$). Тогда $\angle OMN = 18^\circ$. Сумма углов $\triangle MON = 180^\circ$, значит $\angle MON = 180^\circ - (18^\circ + 18^\circ) = 144^\circ$. **Ответ: 144°** ### Задача 4 $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $\angle AOD = 110^\circ$. Угол $\angle ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Дуга $AB$ равна центральному углу $\angle AOB$. Так как $\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$ (смежные), то $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, значит $\angle ACB = 70^\circ / 2 = 35^\circ$. **Ответ: 35°** ### Задача 5 В $\triangle ABC$ угол $C$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. Угол $\angle AOB = 48^\circ$ — центральный, опирается на ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\angle C = 48^\circ / 2 = 24^\circ$. **Ответ: 24°** ### Задача 6 Угол $\angle ACB$ вписанный, опирается на дугу $AB$. Центральный угол $\angle AOB = 84^\circ$ опирается на ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального: $\angle ACB = 84^\circ / 2 = 42^\circ$. **Ответ: 42°**