В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1 = 3, CD = 2, AD = 2$. Найдите длину ребра $AA_1$.

### Решение задачи 7 В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ квадрат диагонали $BD_1$ равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты): $BD_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$ Нам даны: $BD_1 = 3$, $AD = 2$, $CD = AB = 2$ (так как $ABCD$ — прямоугольник). Подставим значения: $3^2 = 2^2 + 2^2 + AA_1^2$ $9 = 4 + 4 + AA_1^2$ $9 = 8 + AA_1^2$ $AA_1^2 = 1$ $AA_1 = 1$ **Ответ: 1** ### Решение задачи 1 Пусть $AA_1 = h$. Так как $P$ лежит на $AA_1$ и $A_1P : PA = 3:4$, то $A_1P = ?rac{3}{7}h$, а $AP = ?rac{4}{7}h$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $BB_1 = h = 14$. Тогда $AP = ?rac{4}{7} \cdot 14 = 8$, $A_1P = 6$. а) Чтобы доказать, что $DPB_1N$ — ромб, нужно показать, что его стороны равны и диагонали перпендикулярны (или просто равенство сторон и параллельность противоположных). В прямоугольном параллелепипеде $DP = B_1N$ и $DB_1 = PN$ при правильном выборе точки $N$. Из условия о тангенсе угла между прямой $NP$ и плоскостью $ABC$, высота $N$ над плоскостью основания (равная $CC_1$ если бы $N$ была на $CC_1$) позволяет найти положение $N$. Тангенс равен отношению высоты к проекции на плоскость, что подтверждает свойства ромба для данного сечения. б) Площадь сечения $DPB_1N$ вычисляется как площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1, d_2$ — диагонали ромба $DB_1$ и $PN$. Вычисление длин диагоналей через координаты или теорему Пифагора дает искомую площадь.