1. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 22, CD = 77. Найдите периметр четырёхугольника.

### Решение контрольной работы №5 **Задание 1** Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$ $AB + CD = 22 + 77 = 99$ Периметр четырёхугольника $P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = 99 + 99 = 198$. **Ответ: 198** **Задание 2** У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Пусть углы равны $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$. По условию $\angle 1 = 38^\circ$ и $\angle 2 = 81^\circ$. Данные углы могут быть как противоположными, так и прилежащими. *Случай 1:* Углы $38^\circ$ и $81^\circ$ — противоположные. Но их сумма $38^\circ + 81^\circ = 119^\circ \neq 180^\circ$. Значит, они не противоположные. *Случай 2:* $38^\circ$ и $81^\circ$ — прилежащие углы. Тогда противоположные им углы равны: $180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$ $180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$ Сравниваем полученные углы: $142^\circ$ и $99^\circ$. Больший из них — $142^\circ$. **Ответ: 142** **Задание 3** В четырёхугольнике $KMHR$, вписанном в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $KMR$ опирается на дугу $KHR$. Угол $KHR$ и угол $KMR$ опираются на дугу $KR$? Нет, перечитаем: $KMHR$ вписан. Угол $KNR$ и угол $KMR$ опираются на дугу $KR$. По условию $\angle KHR = 35^\circ$ и $\angle NKP = 45^\circ$. Скорее всего, опечатка в условии (углы $KNR$ и $KMR$ опираются на одну дугу). Если $\angle KMR = \angle KHR = 35^\circ$, то $\angle KMR = 35^\circ$. Похоже, что $\angle KMR = \angle KHR = 35^\circ$ (опираются на дугу $KR$). **Ответ: 35** **Задание 4** Чтобы описать окружность около разностороннего треугольника, нужно: 1. Построить серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника. 2. Найти точку пересечения этих перпендикуляров — это будет центр описанной окружности. 3. Из центра провести радиус до любой из вершин треугольника и очертить окружность.