1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 7, а ВС =14.

Привет! Давай разберем эти геометрические задачи. ### Задача 1 В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CD$ делит его на два треугольника, подобных исходному. В треугольнике $CDB$ (он тоже прямоугольный, так как $CD$ — высота) косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $DB$ к гипотенузе $BC$: $\cos B = \frac{DB}{BC} = \frac{7}{14} = 0,5$. Так как $\cos B = 0,5$, то угол $B = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит: $\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30°** ### Задача 2 Пусть $\angle A = x$, тогда $\angle C = 8x$. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B = x$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $x + x + 8x = 180^\circ$ $10x = 180^\circ$ $x = 18^\circ$. Значит, $\angle B = 18^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ смежен с внутренним углом $\angle B$. Сумма смежных углов $180^\circ$: $180^\circ - 18^\circ = 162^\circ$. **Ответ: 162°** ### Задача 3 Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, значит углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов треугольника $180^\circ$: $2\angle A + 72^\circ = 180^\circ$ $2\angle A = 108^\circ$ $\angle A = 54^\circ$, значит $\angle C = 54^\circ$. Биссектрисы $AM$ и $CM$ делят эти углы пополам: $\angle MAC = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$ $\angle MCA = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$. В треугольнике $AMC$ сумма углов $180^\circ$: $\angle AMC = 180^\circ - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^\circ - (27^\circ + 27^\circ) = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. **Ответ: 126°**