Question

Прямая проходит через точку (0;-1) и касается гиперболы y = 1/x. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс?

Accepted Answer

Пусть уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.
Так как прямая проходит через точку $(0; -1)$, то подставим координаты этой точки в уравнение:
$-1 = k \cdot 0 + b \Rightarrow b = -1$.
Значит, уравнение прямой: $y = kx - 1$.
Эта прямая касается гиперболы $y = \frac{1}{x}$. Значит, уравнение $kx - 1 = \frac{1}{x}$ имеет ровно одно решение.
Умножим обе части на $x$ ($x 
eq 0$):
$kx^2 - x - 1 = 0$.
Так как это касательная, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен 0:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot k \cdot (-1) = 1 + 4k$.
$1 + 4k = 0 \Rightarrow k = -0{,}25$.
Уравнение прямой: $y = -0{,}25x - 1$.
Найдем точку пересечения с осью абсцисс (где $y = 0$):
$0 = -0{,}25x - 1
0{,}25x = -1
x = -4$.
Точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты $(-4; 0)$.
Ответ: (-4; 0).

Прямая проходит через точку (0;-1) и касается гиперболы y = 1/x. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс?

Ответ ассистента

Другие решения