1. Дайте определение секущей. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

### Решение билета №15 **1. Определение секущей** Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым, если она пересекает их в двух различных точках. При пересечении двух прямых секущей образуется 8 углов, которые разбиваются на пары: - Накрест лежащие углы. - Односторонние углы. - Соответственные углы. **2. Свойство катета** *Теорема:* В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. *Доказательство:* Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 60^\circ$. Пристроим к нему равный треугольник $\triangle ABD$, отразив его относительно катета $BC$. Получим треугольник $ABD$, у которого все углы равны $60^\circ$ (равносторонний). Следовательно, $AB = AD$. Так как $AC$ — медиана, то $AC = CD$, значит $AD = 2AC$. Отсюда $AB = 2AC$, или $AC = \frac{1}{2} AB$. **3. Обратное утверждение и расчет** *Обратное утверждение:* Если сумма углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$ равна углу $\angle ABC$, то луч $BD$ проходит между сторонами угла $ABC$. *Расчет:* Так как луч $BD$ проходит между сторонами угла, то $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. $63^\circ = 51^\circ + \angle DBC$ $\angle DBC = 63^\circ - 51^\circ = 12^\circ$. **Ответ:** $\angle DBC = 12^\circ$. **4. Доказательство равенства отрезков** *Дано:* $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), $M \in AB$, $N \in BC$, $AM=CN$. *Доказательство:* 1. Рассмотрим $\triangle ABN$ и $\triangle CBM$: 2. $AB = BC$ (по условию). 3. $\angle B$ — общий. 4. $BN = BC - CN$ и $BM = AB - AM$. Так как $AB=BC$ и $AM=CN$, то $BN = BM$. 5. $\triangle ABN = \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак). 6. Из равенства треугольников следует, что $AN = CM$. Что и требовалось доказать.