Question

В прямоугольном треугольнике ABC, (∠C = 90°) катеты равны 5 см и 12 см. С центром в точке C проведена окружность. Каково взаимное расположение окружности и прямой AB, если радиус равен: 1) 4 8/13, 2) 4 5/13, 3) 4 12/13?

Accepted Answer

Для решения задачи сначала найдем длину гипотенузы $AB$ и высоту $CH$, опущенную на нее из прямого угла $C$.

1. Гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

3. Также площадь равна половине произведения основания на высоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
$30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot CH$
$60 = 13 \cdot CH$
$CH = \frac{60}{13} = 4\frac{8}{13}$ см.

Расстояние от центра окружности (точки $C$) до прямой $AB$ равно $CH = 4\frac{8}{13}$. Сравним радиус окружности ($R$) с расстоянием ($CH$):

1) $R = 4\frac{8}{13}$. Так как $R = CH$, окружность касается прямой $AB$ (имеет 1 общую точку).
2) $R = 4\frac{5}{13}$. Так как $R < CH$, окружность не имеет общих точек с прямой $AB$.
3) $R = 4\frac{12}{13}$. Так как $R > CH$, окружность пересекает прямую $AB$ (имеет 2 общие точки).

Ответ: 1) Касается; 2) Не пересекаются; 3) Пересекаются.

Ответ ассистента

Другие решения