15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, М – середина стороны АВ, АВ=28, ВС=16. Найдите СМ.

### Решение задач 2 варианта: **15.** В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) медиана CM, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = \frac{AB}{2} = \frac{28}{2} = 14$. **Ответ: 14** **16.** Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол CAD опирается на дугу CD, угол CBD также опирается на дугу CD, значит $\angle CBD = \angle CAD = 28^\circ$. Угол $ABC = \angle ABD + \angle CBD = 50^\circ + 28^\circ = 78^\circ$. **Ответ: 78** **17.** Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 124$. Точка L — середина CD. Площадь треугольника $ADL$ равна $\frac{1}{4}$ площади параллелограмма (так как основание $LD = \frac{1}{2}CD$, а высота такая же). Площадь треугольника $ABL$ равна $\frac{1}{2} S_{ABCD}$? Нет, проще: площадь трапеции $ABCL$ — это площадь всего параллелограмма минус площадь треугольника $ADL$. $S_{ADL} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AD} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{124}{4} = 31$. Тогда $S_{ABCL} = 124 - 31 = 93$. **Ответ: 93** **18.** Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Из рисунка по клеткам: противолежащий катет равен 3 клеткам, прилежащий — 4 клеткам. $\tan AOB = \frac{3}{4} = 0,75$. **Ответ: 0,75** **19.** Проанализируем утверждения: 1) Верно (аксиома). 2) Неверно (например, равнобедренный треугольник с углом при вершине $120^\circ$ — тупоугольный). 3) Неверно (если диагонали равны, это прямоугольник, а не ромб; ромб — если диагонали перпендикулярны). Неверны утверждения 2 и 3. **Ответ: 23** **23.** Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$. $MN \parallel AC$, значит $\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$. Пусть $BC = BN + NC = BN + 25$. Тогда $\frac{12}{42} = \frac{BN}{BN+25}$. Сократим дробь $\frac{12}{42}$ на 6: $\frac{2}{7} = \frac{BN}{BN+25}$. $2(BN+25) = 7BN$, $2BN + 50 = 7BN$, $5BN = 50$, $BN = 10$. **Ответ: 10**