1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, ∠AOC=80°, ∠C : ∠A = 3 : 4. Найдите градусные меры дуг AB, AC, BC.

### Задача 1 Известно, что $\angle AOC = 80^\circ$. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, значит $\text{дуга } AC = 80^\circ$. Вписанный угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$, поэтому $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ$, откуда $\angle A + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. По условию $\angle C : \angle A = 3 : 4$. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда $3x + 4x = 140^\circ$, $7x = 140^\circ$, $x = 20^\circ$. Тогда $\angle C = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$, $\angle A = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. Градусная мера дуги равна удвоенной мере вписанного угла, который на нее опирается: - $\text{Дуга } AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. - $\text{Дуга } BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$. - $\text{Дуга } AC = 80^\circ$. **Ответ: 120°, 80°, 160°.** ### Задача 2 По свойству пересекающихся хорд: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$. Пусть $DE = x$, тогда $CE = 4x$. Подставим известные значения: $4 \cdot 9 = 4x \cdot x$. $36 = 4x^2$, $x^2 = 9$, $x = 3$. Значит, $DE = 3$ см, $CE = 4 \cdot 3 = 12$ см. Длина хорды $CD = CE + DE = 12 + 3 = 15$ см. **Ответ: 15 см.** ### Задача 3 По свойству пересекающихся хорд: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$. $8 \cdot 6 = CE \cdot DE$, откуда $CE \cdot DE = 48$. По условию $CE + DE = CD = 16$, следовательно $CE = 16 - DE$. Подставим в уравнение: $(16 - DE) \cdot DE = 48$. $16DE - DE^2 = 48$, $DE^2 - 16DE + 48 = 0$. Корни уравнения по теореме Виета: $DE = 12$ или $DE = 4$. Если $DE = 4$, то $CE = 12$. Если $DE = 12$, то $CE = 4$. Точка $E$ делит отрезок $CD$ в отношении $4:12 = 1:3$ или $12:4 = 3:1$. **Ответ: 1:3 или 3:1.**