Найдите градусную меру угла ACO, если луч CA касается окружности с центром в точке O, а градусная мера меньшей дуги этой окружности, заключенной внутри угла ACO, равна 65°.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством угла между касательной и секущей, проходящей через центр окружности, а также соотношением между дугой и вписанным/центральным углом. 1. Обозначим дугу, заключенную внутри угла $\angle ACO$, как дугу $\breve{AM}$, где $M$ — точка пересечения секущей $CO$ с окружностью. По условию, её градусная мера равна $65^{\circ}$. 2. Угол между касательной $CA$ и секущей $CO$ — это угол $\angle ACO$. По теореме об угле между касательной и хордой (или секущей), этот угол равен полуразности дуг, стягиваемых сторонами угла, если секущая пересекает окружность в двух точках. 3. Однако здесь секущая проходит через центр $O$, то есть $CO$ — это прямая, содержащая диаметр. Точка $M$ лежит на окружности. Дуга, стягиваемая сторонами угла $ACO$, — это дуга $AM$. 4. В этой конкретной конфигурации угол $\angle ACO$ является вписанным в некоторую систему или может быть найден через треугольник $OAC$. - Так как $CA$ — касательная, радиус $OA \perp CA$, значит $\angle OAC = 90^{\circ}$. - Рассмотрим треугольник $OAC$. В нем $\angle OAC = 90^{\circ}$. - Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AM$. Градусная мера дуги $AM = 65^{\circ}$, значит $\angle AOC = 65^{\circ}$. - Сумма углов треугольника $OAC = 180^{\circ}$. - $\angle ACO = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$. Ответ: 25