Из точки A вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках C и D (D между A и C), касательная касается окружности в точке B. Найдите градусную меру угла BAC, если ∠BCD = 31°, ∠BDC = 64°.

Давай разберем эту геометрическую задачу. **Дано:** - Окружность, касательная $AB$ (точка касания $B$). - Секущая $AC$ проходит через точки $D$ и $C$ (точка $D$ лежит между $A$ и $C$). - $\angle BCD = 31^\circ$. - $\angle BDC = 64^\circ$. **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle CBD$: $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC) = 180^\circ - (31^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. 2. Угол $\angle BDC = 64^\circ$ является внешним для треугольника $\triangle ABD$ при вершине $D$, либо можно найти смежный ему угол $\angle ADB$: $\angle ADB = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. 3. По свойству угла между касательной и хордой, угол $\angle ABC$ (между касательной $AB$ и хордой $BD$) равен вписанному углу $\angle BCD$ (который опирается на ту же дугу $BD$): $\angle ABC = \angle BCD = 31^\circ$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Мы знаем два угла: $\angle ADB = 116^\circ$ $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$ (в данной конфигурации, учитывая, что $AB$ - касательная, это свойство угла между касательной и хордой для всей дуги $BD$ не совсем так работает, давайте воспользуемся суммой углов треугольника $\triangle ABD$). Сумма углов в $\triangle ABD$ равна $180^\circ$. Угол $\angle ABD$ можно найти через внешний угол $\angle BDC$ или просто по сумме: $\angle ABD = \angle ABC = 31^\circ$ (это неверно, $AB$ — касательная, поэтому угол между касательной и хордой $BD$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть $\angle BCD = 31^\circ$. Значит, $\angle ABD = 31^\circ$). 5. В треугольнике $\triangle ABD$: $\angle ABD = 31^\circ$ $\angle ADB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ Тогда $\angle BAC = 180^\circ - (116^\circ + 31^\circ) = 180^\circ - 147^\circ = 33^\circ$. **Ответ: 33.**