1. Окружность называется вписанной в треугольник, если ...

Вот решения заданий проверочной работы: 1. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх его сторон. 2. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 3. Чтобы вписать окружность в произвольный треугольник: - Постройте биссектрисы двух углов треугольника. - Точка пересечения биссектрис будет центром вписанной окружности. - Опустите перпендикуляр из этой точки на любую из сторон — это будет радиус. Проведите окружность из центра. 4. Доказательство: Дано: окружность с центром O, $AD || BC$. Доказать: $AD = BC$. Доказательство: - В окружности равные параллельные хорды отсекают равные дуги. Так как $AD || BC$, то дуги $AB$ и $DC$ равны между собой (как дуги между параллельными хордами). - Соответственно, соответствующие хорды, стягивающие эти дуги, также равны. Следовательно, $AB = DC$. - Аналогично, дуги $AD$ и $BC$ стягиваются хордами, которые по условию параллельны. В окружности хорды, стягивающие равные дуги, равны. В данном случае, из параллельности хорд $AD$ и $BC$ следует, что они отсекают равные дуги $AB$ и $CD$. Следовательно, дуга $AD$ равна дуге $BC$ (как дуги, заключенные между параллельными хордами), а значит, и хорды $AD$ и $BC$ равны. **Ответ: $AD = BC$ (ч.т.д.)**