Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от концов отрезка.

Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка $AB$, является **срединный перпендикуляр** к этому отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. ### Построение: 1. Постройте окружности с центрами в точках $A$ и $B$ и радиусом $R$, где $R > AB/2$. Окружности пересекутся в двух точках, назовем их $M$ и $N$. 2. Проведите прямую через точки $M$ и $N$. Это и есть искомый срединный перпендикуляр. :::div .chart-container @chart-1::: ### Доказательство: Пусть точка $X$ лежит на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Рассмотрим треугольники $\triangle AXO$ и $\triangle BXO$, где $O$ — точка пересечения перпендикуляра с отрезком $AB$: 1. $AO = OB$ (так как перпендикуляр делит отрезок пополам по построению). 2. $XO$ — общая сторона. 3. $\angle AOX = \angle BOX = 90^\circ$ (так как прямая перпендикулярна отрезку). Следовательно, треугольники $\triangle AXO$ и $\triangle BXO$ равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $AX = XB$. Значит, любая точка на прямой равноудалена от концов отрезка.