Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 164. Найдите высоту этой трапеции.

1. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. $h = 2r = 2 \cdot 164 = 328$. 2. Угол правильного $n$-угольника, опирающийся на одну сторону, равен $360^\circ / n$. Здесь $n=8$. Угол, опирающийся на одну сторону: $360^\circ / 8 = 45^\circ$. Но пунктиром выделена сторона, т.е. центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен $45^\circ$. Если имеется в виду угол вписанного многоугольника, то он равен $(180^\circ(8-2))/8 = 135^\circ$. Если нужно найти величину дуги, стягиваемой одной стороной, то это $45^\circ$. 3. Свойство пересекающихся хорд: $MT \cdot TH = KT \cdot KC$ (здесь $H$ — точка пересечения $MT$ и $KC$ - некорректно в условии, вероятно хорды $MC$ и $TK$ или $MK$ и $TC$. Исходя из рисунка, хорды $MT$ и $KC$ пересекаются в $H$). По теореме о произведениях отрезков хорд: $MH \cdot TH = CH \cdot KH$. В условии $TH=38, CH=190, TK=30$. Очевидно $KH = TK - TH$ не подходит. Пусть $MK$ и $TC$ пересекаются в $H$. Тогда $MH \cdot TH = CH \cdot KH$. Здесь даны $TH=38, CH=190, TK=30$. Если $TK$ — это весь отрезок, то $KH = TK - TH = 30 - 38$ невозможно. Возможно, $TK$ — это отрезок хорды. Вероятно, опечатка. Пропустим или уточним. 4. У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle M + \angle D = 180^\circ$. $\angle M = 180^\circ - 163^\circ = 17^\circ$. 5. У четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны: $FS + CX = SC + FX$. $6 + 28 = 10 + FX \Rightarrow 34 = 10 + FX \Rightarrow FX = 24$. 6. Сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Если даны два угла, принадлежащие одной стороне, это не помогает напрямую. Если это противоположные углы, то один из них $58^\circ$, другой $18^\circ$ быть не могут (сумма не $180$). Значит, это углы при одной стороне. Тогда другие два угла: $180-58=122^\circ$ и $180-18=162^\circ$. Больший из них $162^\circ$. 7. Радиус описанной окружности $R = a / \sqrt{3}$. $R = 23\sqrt{3} / \sqrt{3} = 23$. 8. Радиус вписанной окружности $r = a / (2\sqrt{3})$. $r = 87\sqrt{3} / (2\sqrt{3}) = 87/2 = 43.5$. 12. Радиус описанной окружности $R = a / \sqrt{3} \Rightarrow a = R\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21$. 13. По теореме синусов: $2R = a / \sin(\alpha)$. Сторона $a = 54$, угол $\alpha = 120^\circ$. $2R = 54 / \sin(120^\circ) = 54 / (\sqrt{3}/2) = 108 / \sqrt{3} = 36\sqrt{3}$. 14. В $\triangle FSO$: $FS=SO$, значит $\triangle FSO$ равнобедренный. $\angle FSO = 66^\circ$. Тогда $\angle OFS = \angle FOS = (180^\circ - 66^\circ) / 2 = 114^\circ / 2 = 57^\circ$. Угол $SRO$ — центральный, опирающийся на дугу $SO$. Треугольник $SRO$ равнобедренный ($RS=RO=R_{описан}$). $\angle RSO = \angle ROS$. $\triangle FSO$ вписан, стороны $FS, SO, FO$. Это задача на углы. 15. По теореме синусов: $2R = a / \sin(\alpha) = 14 / \sin(30^\circ) = 14 / 0.5 = 28$. Тогда $R = 14$. 16. В равностороннем треугольнике $r = a / (2\sqrt{3})$. Расстояние от центра до стороны — это радиус вписанной окружности $r = 2\sqrt{3}$. Тогда $2\sqrt{3} = a / (2\sqrt{3}) \Rightarrow a = (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12$.