В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 58°, угол ABC равен 31°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

### Задача 1 В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, $\angle ALC = 58^\circ$, $\angle ABC = 31^\circ$. Найдите $\angle ACB$. 1. Рассмотрим $\triangle ABL$. Угол $\angle ALC$ является внешним для этого треугольника при вершине $L$. Следовательно, $\angle ALC = \angle BAL + \angle ABC$. 2. Подставим известные значения: $58^\circ = \angle BAL + 31^\circ$, откуда $\angle BAL = 58^\circ - 31^\circ = 27^\circ$. 3. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \angle CAL = 27^\circ$. Значит, весь угол $\angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = 27^\circ + 27^\circ = 54^\circ$. 4. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$. Тогда $\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (54^\circ + 31^\circ) = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$. **Ответ: 95** ### Задача 2 В треугольнике $ABC$ $\angle ACB = 53^\circ$, $\angle CAD = 24^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите $\angle ABC$. 1. Так как $AD$ — биссектриса $\angle A$, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$. 2. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (48^\circ + 53^\circ) = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ$. **Ответ: 79** ### Задача 3 В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) с основанием $BC$ проведена медиана $AM$. Найдите медиану $AM$, если $P_{ABC} = 40$ см, $P_{ABM} = 32$ см. 1. В равнобедренном треугольнике медиана $AM$ также является высотой. $BM = MC = \frac{BC}{2}$. 2. Периметр $\triangle ABM = AB + BM + AM = 32$. 3. Периметр $\triangle ABC = AB + AC + BC = 2AB + 2BM = 2(AB + BM) = 40$. Отсюда $AB + BM = 20$. 4. Подставим $AB + BM = 20$ в выражение для периметра $ABM$: $20 + AM = 32$. 5. $AM = 32 - 20 = 12$ см. **Ответ: 12**