Постройте фигуру, ограниченную линиями: f(x) = x^2 + 1; x = -1; x = 1; [-1; 1]. Вычислите ее площадь

### Решение практической работы №20 #### Задание 1 Фигура ограничена параболой $f(x) = x^2 + 1$, прямыми $x = -1$ и $x = 1$ и осью $Ox$ на отрезке $[-1; 1]$. Площадь $S = \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$. Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(1) - F(-1) = (\frac{1^3}{3} + 1) - (\frac{(-1)^3}{3} - 1) = (\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{1}{3} - 1) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$. **Ответ:** $2\frac{2}{3}$ или $\approx 2{,}67$. :::div .chart-container @chart-1::: #### Задание 2 Фигура ограничена $f(x) = -2x - 2$, прямыми $x = -1$ и $x = 2$ на отрезке $[-1; 2]$. Примечание: функция принимает отрицательные значения на этом отрезке, площадь геометрической фигуры считается как интеграл от модуля функции или как площадь соответствующей фигуры (здесь это прямоугольный треугольник). $S = \int_{-1}^{2} | -2x - 2 | dx$. На отрезке $[-1; 2]$ функция $f(x) = -2x - 2$ неположительна. Площадь $S = \int_{-1}^{2} (0 - (-2x - 2)) dx = \int_{-1}^{2} (2x + 2) dx$. $F(x) = x^2 + 2x$. $S = F(2) - F(-1) = (2^2 + 2 \cdot 2) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (4 + 4) - (1 - 2) = 8 - (-1) = 9$. **Ответ:** 9. :::div .chart-container @chart-2::: #### Задание 3 Фигура ограничена $y = x^2 + 1$ и $y = 5$ на отрезке $[0; 2]$. Площадь фигуры между двумя графиками равна интегралу от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) dx$, где $g(x) = 5$, $f(x) = x^2 + 1$. $S = \int_{0}^{2} (5 - (x^2 + 1)) dx = \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$. $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$. $S = F(2) - F(0) = (4 \cdot 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 2\frac{2}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33$. **Ответ:** $5\frac{1}{3}$ или $\approx 5{,}33$. :::div .chart-container @chart-3:::