Вычислите C_5^3 * C_7^2

Давай разберем эти задачи по комбинаторике и теории вероятностей. ### 1. Вычислите $C_5^3 \cdot C_7^2$ Используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. $C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ $C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ $10 \cdot 21 = 210$ **Ответ: 210** ### 2. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали? Нам нужно выбрать 4 из 15. Это число сочетаний $C_{15}^4$. $C_{15}^4 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$ **Ответ: 1365** ### 3. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде? Выбираем 2 из 7: $C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$. **Ответ: 21** ### 4. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала? Выбираем 3 книги из 10 и 2 журнала из 4: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ $120 \cdot 6 = 720$ **Ответ: 720** ### 5. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу выбираются 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется ровно 5 отличников. Используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$. $n = C_{12}^9 = C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220$ (всего способов выбрать 9 студентов). $m = C_8^5 \cdot C_4^4 = C_8^3 \cdot 1 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ (способов выбрать 5 отличников и 4 не отличника). $P = \frac{56}{220} \approx 0.255$ **Ответ: 0.255** ### 6. Из 20 филиалов 10 расположены за чертой города. Для обследования случайно отобрано 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города 3 филиала? Всего филиалов 20: 10 за чертой, 10 в черте. Выбираем 5 из 20: $C_{20}^5 = 15504$. Нам нужно выбрать 3 в черте (из 10) и 2 за чертой (из 10): $m = C_{10}^3 \cdot C_{10}^2 = 120 \cdot 45 = 5400$. $P = \frac{5400}{15504} \approx 0.348$ **Ответ: 0.348** ### 7. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор? Выбираем 2 из 5 ведущих и 3 из 8 старших: $C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ $C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ $10 \cdot 56 = 560$ **Ответ: 560** ### 8. В правильном 17-угольнике провели все диагонали. Сколько всего получилось отрезков? Отрезки — это либо стороны (17), либо диагонали. Всего пар вершин можно соединить $C_{17}^2 = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136$. Вопрос "Сколько всего получилось отрезков" (включая стороны и диагонали) дает 136. Если нужно найти только количество диагоналей, то это $136 - 17 = 119$. Обычно в таких задачах подразумевается общее количество отрезков, соединяющих вершины, если не указано "только диагонали". Будем считать общее число. **Ответ: 136**