В треугольнике ABC угол BAC равен 41, стороны AC и BC равны. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Все они основаны на свойствах равнобедренных треугольников и свойствах углов. 1. Дано: треугольник $ABC$, $AC=BC$, $\angle BAC = 41^\circ$. Найдем внешний угол $\angle BCD$. Так как $AC=BC$, то $\angle ABC = \angle BAC = 41^\circ$. Угол $\angle ACB = 180^\circ - (41^\circ + 41^\circ) = 98^\circ$. Внешний угол $\angle BCD = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$ (или как сумма двух внутренних: $41^\circ + 41^\circ = 82^\circ$). **Ответ: 82.** 2. Аналогично задаче 1. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$. **Ответ: 72.** 3. $CM$ — биссектриса $\angle BCD$, $\angle MCD = 50^\circ$. Значит, весь внешний угол $\angle BCD = 50^\circ \times 2 = 100^\circ$. Внутренний угол $\angle ACB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. В равнобедренном треугольнике при основании $AB$ углы равны: $\angle BAC = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. **Ответ: 50.** 4. Аналогично задаче 1: $38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$. **Ответ: 76.** 5. Аналогично задаче 3: $\angle BCD = 53^\circ \times 2 = 106^\circ$. Тогда $\angle ACB = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. $\angle BAC = (180^\circ - 74^\circ) / 2 = 53^\circ$. **Ответ: 53.** 6. Треугольник $ABC$ прямоугольный ($C=90^\circ$) и равнобедренный ($AC=BC$). Значит, $\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ$. $\angle ACP = 20^\circ$. В треугольнике $APC$: $\angle APC = 180^\circ - \angle PAC - \angle ACP = 180^\circ - 45^\circ - 20^\circ = 115^\circ$. **Ответ: 115.** 7. $AB=BC$, значит треугольник равнобедренный при основании $AC$. $\angle BCA = 35^\circ$, значит $\angle BAC = 35^\circ$. $\angle AHB = 90^\circ$. В треугольнике $AHB$: $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - \angle BAH$. Но нам нужен $\angle BAH$. Из треугольника $AHC$ (прямоугольный): $\angle HAC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. $\angle BAH = \angle BAC - \angle HAC$ (не подходит, так как $H$ лежит на $BC$). На самом деле $H$ лежит на продолжении $BC$ или на $BC$. Если $AH$ — высота к $BC$, то $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABC$. $\angle ABC = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ$. $\angle ABH = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Тогда $\angle BAH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: 20.** 8. Аналогично задаче 6: $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle ACP = 18^\circ$. В треугольнике $APC$: $\angle APC = 180^\circ - 45^\circ - 18^\circ = 117^\circ$. **Ответ: 117.**