Задача 5. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

### Задача 5 Если трапеция описана около окружности, то сумма её боковых сторон равна сумме её оснований: $AB + CD = AD + BC = 2 + 4 = 6$ (см). Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме её оснований: $m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ (см). **Ответ: 3 см.** ### Задача 6 1. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон: $AD + BC = AB + CD$. 2. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная, значит, $AB = CD$. 3. Пусть $P$ — периметр. $P = (AB + CD) + (AD + BC) = 2(AB + CD)$. 4. Средняя линия $EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{AB + CD}{2}$. 5. По условию $AB + CD + EF = 18$. Так как $EF = \frac{AB + CD}{2}$, получаем: $(AB + CD) + \frac{AB + CD}{2} = 18$ $\frac{3}{2}(AB + CD) = 18$ $AB + CD = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$. 6. Периметр $P = (AB + CD) + (AD + BC) = (AB + CD) + (AB + CD) = 2(AB + CD) = 2 \cdot 12 = 24$. **Ответ: 24.** ### Задача 7 1. Высота $h$ трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = 15$ см. 2. Пусть боковые стороны равны $c = 17$ см. Трапеция равнобедренная, значит основания $a$ и $b$ связаны соотношением $(a+b) = 2c = 2 \cdot 17 = 34$. 3. Проведем высоты из верхнего основания к нижнему. Они отсекают на нижнем основании отрезки. Так как трапеция равнобедренная, разность оснований делится пополам: $x = \frac{a-b}{2}$. 4. Из прямоугольного треугольника (сторона $c$, высота $h$, отрезок $x$): $x^2 + h^2 = c^2$. $x^2 + 15^2 = 17^2$ $x^2 + 225 = 289$ $x^2 = 64 \implies x = 8$. 5. Итак, $a - b = 2x = 16$. У нас система: $\begin{cases} a + b = 34 \\ a - b = 16 \end{cases}$ Сложим: $2a = 50 \implies a = 25$. Тогда $b = 34 - 25 = 9$. **Ответ: 25 см и 9 см.**