15. 2^(x+2) / (2^(x+2) - 100) >= 9 / (2^x - 1) + 200 / (4^x - 26 * 2^x + 25)

Question

Вопрос:

15. 2^(x+2) / (2^(x+2) - 100) >= 9 / (2^x - 1) + 200 / (4^x - 26 * 2^x + 25)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения неравенства введем замену: $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда исходное неравенство примет вид: $\frac{4t}{4t-100} \ge \frac{9}{t-1} + \frac{200}{t^2-26t+25}$ 1. Упростим знаменатели: $4t - 100 = 4(t-25)$ $t^2 - 26t + 25 = (t-1)(t-25)$ Неравенство: $\frac{t}{t-25} \ge \frac{9}{t-1} + \frac{200}{(t-1)(t-25)}$ 2. Приведем к общему знаменателю $(t-1)(t-25)$, при условии $t \neq 1, t \neq 25$: $\frac{t(t-1) - 9(t-25) - 200}{(t-1)(t-25)} \ge 0$ $\frac{t^2 - t - 9t + 225 - 200}{(t-1)(t-25)} \ge 0$ $\frac{t^2 - 10t + 25}{(t-1)(t-25)} \ge 0$ $\frac{(t-5)^2}{(t-1)(t-25)} \ge 0$ 3. Решим методом интервалов для $t$: Числитель $(t-5)^2 = 0$ при $t = 5$ (точка входит в решение, так как неравенство нестрогое). Знаменатель обращается в ноль при $t = 1$ и $t = 25$ (точки выколоты). Интервалы для $t$: $(0; 1) \cup (25; +\infty) \cup \{5\}$. 4. Вернемся к $x = \log_2 t$: - $0 < 2^x < 1 \implies x < 0$ - $2^x = 5 \implies x = \log_2 5$ - $2^x > 25 \implies x > \log_2 25 \implies x > 2\log_2 5$ Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \{\log_2 5\} \cup (2\log_2 5; +\infty)$.

15. 2^(x+2) / (2^(x+2) - 100) &gt;= 9 / (2^x - 1) + 200 / (4^x - 26 * 2^x + 25)

Ответ ассистента

Другие решения

15. 2^(x+2) / (2^(x+2) - 100) >= 9 / (2^x - 1) + 200 / (4^x - 26 * 2^x + 25)