На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 41°. Найдите угол NMB.

### Задача 5 Так как $AB$ — диаметр, то $\angle ANB = 90^\circ$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном треугольнике $\triangle ANB$ угол $\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$. Углы $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на одну дугу $NB$, следовательно, они равны: $\angle NMB = \angle NAB = 49^\circ$. **Ответ: 49** ### Задача 6 Обозначим точку пересечения касательных как $P$. В четырехугольнике $OAPB$ углы при точках касания $\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, значит $\angle AOB = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$. Треугольник $\triangle OAB$ равнобедренный ($OA=OB=R$), поэтому $\angle ABO = (180^\circ - 144^\circ) / 2 = 36^\circ / 2 = 18^\circ$. **Ответ: 18** ### Задача 7 Пусть $x$ — катет, прилежащий к углу $60^\circ$. Тогда второй катет равен $x \cdot \tan 60^\circ = x\sqrt{3}$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$: $18\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x\sqrt{3}$ $18\sqrt{3} = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$ $18 = \frac{x^2}{2} \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$. **Ответ: 6** ### Задача 8 Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Диаметр $d = 2R = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Формула связи диагонали и стороны квадрата: $d = a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \Rightarrow a = 8$. **Ответ: 8**