В треугольнике ABC угол BAC равен 41, стороны AC и BC равны. Найдите внешний угол при вершине C.

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) углы при основании равны, значит $\angle ABC = \angle BAC = 41^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - (41^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$. (Или как сумма двух несмежных углов: $41^\circ + 41^\circ = 82^\circ$). **Ответ: 82** 2. Аналогично задаче 1: $\angle ABC = \angle BAC = 36^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ равен сумме двух несмежных углов треугольника: $36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$. **Ответ: 72** 3. $CM$ — биссектриса внешнего угла $BCD$, значит $\angle BCM = \angle MCD = 50^\circ$. Весь внешний угол $BCD = 100^\circ$. Угол $ACB$ смежный с внешним углом $BCD$, поэтому $\angle ACB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Так как $AC=BC$ (равнобедренный), то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. **Ответ: 50** 4. Аналогично задаче 1: $\angle ABC = \angle BAC = 38^\circ$. Внешний угол при вершине $C = 38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$. **Ответ: 76** 5. Аналогично задаче 3: $\angle BCM = \angle MCD = 53^\circ$, внешний угол $BCD = 106^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\angle BAC = (180^\circ - 74^\circ) / 2 = 106^\circ / 2 = 53^\circ$. **Ответ: 53** 6. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $AC=BC$, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник. $\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ$. В $\triangle ACP$: $\angle PAC = 45^\circ$, $\angle ACP = 20^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит $\angle APC = 180^\circ - 45^\circ - 20^\circ = 115^\circ$. **Ответ: 115** 7. В $\triangle ABC$: $AB=BC$, значит $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$. Сумма углов $\angle B = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$): $\angle BAH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 110^\circ$ — так как угол $B$ тупой, высота падает на продолжение стороны. Угол $BAH$ равен $180^\circ - 110^\circ - 90^\circ$ не подходит. Пересчитаем: внешний угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: 20** 8. Аналогично задаче 6: $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle ACP = 18^\circ$. $\angle APC = 180^\circ - 45^\circ - 18^\circ = 117^\circ$. **Ответ: 117**