Question

OK = 6, ∠MON = 120°, MK, NK - ?

Accepted Answer

Для решения задачи №6 рассмотрим свойства касательных к окружности, проведенных из одной точки.

1. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, поэтому $MK = NK$.
2. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным ($OM \perp MK$ и $ON \perp NK$).
3. В четырехугольнике $OMKN$ сумма углов при вершинах $M$ и $N$ равна $180^\circ$ ($90^\circ + 90^\circ$). Тогда сумма углов при вершинах $O$ и $K$ также равна $180^\circ$.
4. Угол $\angle MON = 120^\circ$, значит, $\angle MKN = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
5. Треугольник $MOK$ — прямоугольный ($\angle M = 90^\circ$). Угол $\angle MOK$ является половиной угла $\angle MON$ (по свойству касательных), то есть $\angle MOK = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
6. В треугольнике $MOK$: $\sin(\angle MOK) = \frac{MK}{OK}$, откуда $MK = OK \cdot \sin(60^\circ)$.

$MK = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Так как $NK = MK$, то $NK = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $MK = 3\sqrt{3}, NK = 3\sqrt{3}$.

OK = 6, ∠MON = 120°, MK, NK - ?

Ответ ассистента

Другие решения