3. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 15, а угол A равен 45°. Найдите боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√5.

Дано: трапеция $ABCD$ — прямоугольная, основания $AD$ и $BC$. $BD = 15$, $\angle A = 45^\circ$, $BC = 5\sqrt{5}$. В прямоугольной трапеции $ABCD$ (пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$) сторона $AB$ является высотой, так как она перпендикулярна основаниям. Однако в условии сказано $\angle A = 45^\circ$. Это означает, что $AB$ не является высотой, следовательно, высотой является сторона $CD$ (или $AB$, если трапеция ориентирована иначе, но стандартно $\angle A = 45^\circ$ и $AD \parallel BC$ предполагает, что боковая сторона $AB$ не перпендикулярна основаниям). Поскольку трапеция прямоугольная, один из углов при боковой стороне должен быть $90^\circ$. Если $\angle A = 45^\circ$, значит, либо $\angle B=90^\circ$ (тогда $AB$ — высота, но это противоречит $\angle A=45^\circ$), либо $\angle D=90^\circ$ или $\angle C=90^\circ$. Обычно в таких задачах подразумевается, что боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям (высота). Пусть $CD \perp AD$. Тогда $CD$ — высота трапеции. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. $BK = CD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ (угол $A=45^\circ$): $BK = AB \cdot \sin 45^\circ$. Это пока не помогает. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ (если $\angle C = 90^\circ$): не подходит. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (если $\angle C = 90^\circ$ — нет). Вернемся к определению: $\angle A = 45^\circ$. Если $AB$ — боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, то другая боковая сторона $CD$ — перпендикулярна. Значит $\angle C = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$ (прямоугольная трапеция). В треугольнике $BCD$: $\angle C = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $CD^2 + BC^2 = BD^2$. $CD^2 + (5\sqrt{5})^2 = 15^2$ $CD^2 + 125 = 225$ $CD^2 = 100$ $CD = 10$. Боковая сторона $CD = 10$. Ответ: 10.