Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной AB = 7√3. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K - середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AK и DC, если SB = 6√17.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка $B$ — начало координат $(0, 0, 0)$. Тогда: $B = (0, 0, 0)$ $A = (7\sqrt{3}, 0, 0)$ $C = (0, 7\sqrt{3}, 0)$ $D = (7\sqrt{3}, 7\sqrt{3}, 0)$ $S = (0, 0, 6\sqrt{17})$ Точка $K$ — середина $SB$, значит ее координаты: $K = (0, 0, 3\sqrt{17})$ Нам нужно найти косинус угла между прямыми $AK$ и $DC$. Найдем векторы этих прямых: $\vec{AK} = K - A = (0 - 7\sqrt{3}, 0 - 0, 3\sqrt{17} - 0) = (-7\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{17})$ $\vec{DC} = C - D = (0 - 7\sqrt{3}, 7\sqrt{3} - 7\sqrt{3}, 0 - 0) = (-7\sqrt{3}, 0, 0)$ Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AK} \cdot \vec{DC}|}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DC}|}$ Скалярное произведение: $\vec{AK} \cdot \vec{DC} = (-7\sqrt{3}) \cdot (-7\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 + 3\sqrt{17} \cdot 0 = 49 \cdot 3 = 147$ Длины векторов: $|\vec{AK}| = \sqrt{(-7\sqrt{3})^2 + 0^2 + (3\sqrt{17})^2} = \sqrt{49 \cdot 3 + 9 \cdot 17} = \sqrt{147 + 153} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ $|\vec{DC}| = \sqrt{(-7\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = 7\sqrt{3}$ Вычисляем косинус: $\cos \alpha = \frac{147}{10\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{147}{70 \cdot 3} = \frac{147}{210} = \frac{49}{70} = 0,7$ Ответ: 0,7