На рисунке изображён граф. Марта обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Марта начала обводить граф, если она закончила его обводить в вершине D?

### 11. Граф Для того чтобы обойти все ребра графа по одному разу, количество вершин с нечетной степенью должно быть 0 или 2. Если их 2, то путь начинается в одной из них и заканчивается в другой. Посчитаем степени вершин: - Вершина A: 2 (ребра AF, AB) - Вершина B: 4 (ребра BA, BG, BH, BC) - Вершина C: 2 (ребра CB, CK, CD - стоп, пересчитаем: C соединена с B, K, D. Степень 3.) - Вершина D: 2 (ребра DC, DK) - Вершина K: 4 (ребра KC, KD, KH, KE) - Вершина E: 2 (ребра EK, ED) - Вершина F: 2 (ребра FA, FG) - Вершина G: 4 (ребра GA, GB, GF, GH) - Вершина H: 4 (ребра HB, HG, HK, HE) Вершины с нечетной степенью: C (степень 3) и F (степень 3). *Поправка*: Посмотрим внимательнее: у A(2), B(4), C(3), D(2), E(2), K(4), F(2), G(4), H(4). Где еще нечетная? Проверим ребра: A-B, A-F. F-A, F-G. G-A, G-B, G-F, G-H. H-G, H-B, H-K, H-E. B-A, B-G, B-H, B-C. C-B, C-K, C-D. D-C, D-K, D-E. K-C, K-D, K-H, K-E. E-D, E-K, E-H. Вершины с нечетной степенью: C (3) и E (3). Значит, путь должен начинаться в C и заканчиваться в E, или наоборот. Однако, в условии сказано, что Марта закончила в D. Это значит, что граф содержит другие нечетные вершины или я неверно прочитал структуру. Давайте пересчитаем еще раз: Вершины: A, B, C, D, E, F, G, H, K. Степени: A: 2 (AB, AF) B: 4 (AB, BG, BH, BC) C: 3 (CB, CK, CD) - нечетная D: 3 (DC, DK, DE) - нечетная E: 3 (ED, EK, EH) - нечетная F: 2 (FA, FG) G: 4 (GA, GB, GF, GH) H: 4 (HB, HG, HK, HE) K: 4 (KC, KD, KH, KE) Нечетные: C, D, E. Их три. Граф нельзя пройти, не отрывая карандаша, если нечетных вершин больше двух. Возможно, я неверно интерпретировал граф. Если Марта закончила в D, значит D должна быть нечетной (что верно). Значит, вторая нечетная вершина должна быть точкой старта. По условию, у нас нечетные степени: C, D, E. Похоже, граф нарисован не совсем стандартно или я ошибся в степени какой-то вершины. Допустим, мы ищем старт. Если граф можно пройти, то Марта начала в C, так как D и E - две другие нечетные вершины, но тогда она не закончит в D. Есть вероятность, что граф нарисован так, что F или A имеют нечетную степень. Проверим: FA, FG - 2. GA, GB, GF, GH - 4. *Решение*: Поскольку 3 вершины имеют нечетную степень, путь Эйлера невозможен. Возможно, опечатка в условии или рисунке. Если предположить, что Марта начала в одной из нечетных вершин, например, в С, и закончила в D, это невозможно при трех нечетных. Ответ может быть: C. ### 12. Неверное утверждение 1) Сумма любых двух углов остроугольного треугольника больше 90°. (Верно, так как сумма всех углов 180°, а каждый меньше 90°) 2) Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его медиан. (Верно) 3) Сумма градусных величин вертикальных углов всегда равна 180°. (Неверно, они равны друг другу, а не в сумме 180°) **Ответ: 3** ### 13. Система уравнений $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$ Выразим $y$ из первого: $y = 2x - 1$. Подставим во второе: $3x + 2(2x - 1) = 12 3x + 4x - 2 = 12 7x = 14 x = 2$ Тогда $y = 2(2) - 1 = 3$. $x + y = 2 + 3 = 5$. **Ответ: 5** ### 14. График курса евро 1) Наименьший курс был 9 декабря. 2) Ниже 45 рублей курс был 7, 8, 9, 10, 11 декабря. Всего 5 дней. ### 15. Насосы Пусть $x$ — производительность второго насоса (л/мин), тогда первого — $(x + 14)$ л/мин. Время работы 1-го: $\frac{245}{x+14}$. Время работы 2-го: $\frac{189}{x}$. По условию, 2-й насос наполняет на 2 минуты дольше: $\frac{189}{x} - \frac{245}{x+14} = 2$ $189(x+14) - 245x = 2x(x+14)$ $189x + 2646 - 245x = 2x^2 + 28x$ $2x^2 + 84x - 2646 = 0$ $x^2 + 42x - 1323 = 0$ Корни: $D = 42^2 - 4(-1323) = 1764 + 5292 = 7056 = 84^2$ $x = \frac{-42 + 84}{2} = 21$. **Ответ: 21** ### 16. Вероятность Всего чашек: 20. С красными: 5. С синими: $20 - 5 = 15$. Вероятность $P = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0,75$. **Ответ: 0,75** ### 17. Выражение $\sqrt{6\sqrt{5} + 14} - \sqrt{5}$ Преобразуем подкоренное выражение: $6\sqrt{5} + 14 = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + 9 + 5 = (3 + \sqrt{5})^2$. Тогда $\sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} - \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$. **Ответ: 3** ### 18. Геометрия Пусть $\angle CAB = 40^\circ$. В треугольнике $ABC$ $AB = AC$, значит $\angle ABC = \angle ACB = (180 - 40) / 2 = 70^\circ$. В треугольнике $ABX$: $AX = BX$. Значит, треугольник равнобедренный. $\angle ABX = \angle BAX = 40^\circ$. Тогда $\angle AXB = 180 - 40 - 40 = 100^\circ$. Угол $BXC$ смежный с $AXB$, значит $\angle BXC = 180 - 100 = 80^\circ$. В треугольнике $BXY$: $BX = BY$. Треугольник равнобедренный. Нам нужно найти $\angle CBY$. Это $\angle ABC - \angle ABY$. Используем данные: $AX = BX = BY$. В $\triangle ABX$: $\angle ABX = 40^\circ$, $\angle BAX = 40^\circ$. $ riangle BXY$: $BX = BY$, значит $\angle BYX = \angle BXY$. Угол $\angle BXY = 180 - 100 = 80^\circ$. Тогда $\angle XBY = 180 - 80 - 80 = 20^\circ$. $\angle ABY = \angle ABX + \angle XBY = 40 + 20 = 60^\circ$. Тогда $\angle CBY = \angle ABC - \angle ABY = 70^\circ - 60^\circ = 10^\circ$. **Ответ: 10**