Проверить, удовлетворяет ли данная функция данному уравнению. u = arcsin(x/(x+y)); xdu/dx + ydu/dy = 0

Фотография

Ответ ассистента

Проверим, удовлетворяет ли функция $u(x, y) = \arcsin \frac{x}{x+y}$ уравнению $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$. 1. Найдем частную производную по $x$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{x+y})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{x+y})$ $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(x+y)^2 - x^2}{(x+y)^2}}} \cdot \frac{1 \cdot (x+y) - x \cdot 1}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{\sqrt{x^2 + 2xy + y^2 - x^2}} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{\sqrt{y^2 + 2xy}} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} = \frac{y}{(x+y)\sqrt{y^2 + 2xy}}$ 2. Найдем частную производную по $y$: $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{x+y})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{x+y})$ $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x+y}{\sqrt{y^2 + 2xy}} \cdot (\frac{-x}{(x+y)^2}) = \frac{-x}{(x+y)\sqrt{y^2 + 2xy}}$ 3. Подставим в уравнение: $x \cdot \frac{y}{(x+y)\sqrt{y^2 + 2xy}} + y \cdot \frac{-x}{(x+y)\sqrt{y^2 + 2xy}} = \frac{xy - xy}{(x+y)\sqrt{y^2 + 2xy}} = 0$ **Ответ:** Функция удовлетворяет данному уравнению.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Проверить, удовлетворяет ли данная функция данному уравнению. u = arcsin(x/(x+y)); x*du/dx + y*du/dy = 0

Ответ ассистента

Другие решения

Проверить, удовлетворяет ли данная функция данному уравнению. u = arcsin(x/(x+y)); xdu/dx + ydu/dy = 0