5.40. Решите совокупность неравенств:

Давай решим эти совокупности неравенств (в квадратных скобках записана именно совокупность, значит, нам нужно найти объединение решений каждого неравенства). ### 1) $\left[ \begin{aligned} &x - 5 < 7 \\ &x^2 - 3x + 2 \geqslant 0 \end{aligned} \right.$ 1. Решаем первое: $x < 12$. 2. Решаем второе: $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни по теореме Виета $x_1=1, x_2=2$. Парабола ветвями вверх, $\geqslant 0$ на промежутках $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$. 3. Объединение решений: $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \cup (-\infty; 12) = (-\infty; 12)$. **Ответ:** $(-\infty; 12)$ ### 2) $\left[ \begin{aligned} &2x + 1 \leqslant x + 5 \\ &x^2 - 8x + 12 < 0 \end{aligned} \right.$ 1. Решаем первое: $2x - x \leqslant 5 - 1 \Rightarrow x \leqslant 4$. 2. Решаем второе: $x^2 - 8x + 12 = 0$. Корни по теореме Виета $x_1=2, x_2=6$. Парабола $< 0$ между корнями: $(2; 6)$. 3. Объединение решений: $(-\infty; 4] \cup (2; 6) = (-\infty; 6)$. **Ответ:** $(-\infty; 6)$ ### 3) $\left[ \begin{aligned} &x + 5 < 7 \\ &x^2 - 7x + 6 \leqslant 0 \end{aligned} \right.$ 1. Решаем первое: $x < 2$. 2. Решаем второе: $x^2 - 7x + 6 = 0$. Корни $x_1=1, x_2=6$. Парабола $\leqslant 0$ на промежутке $[1; 6]$. 3. Объединение решений: $(-\infty; 2) \cup [1; 6] = (-\infty; 6]$. **Ответ:** $(-\infty; 6]$ ### 4) $\left[ \begin{aligned} &7 - 2x \geqslant x - 2 \\ &x^2 - 2x > 63 \end{aligned} \right.$ 1. Решаем первое: $-2x - x \geqslant -2 - 7 \Rightarrow -3x \geqslant -9 \Rightarrow x \leqslant 3$. 2. Решаем второе: $x^2 - 2x - 63 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$: $D = 4 - 4(1)(-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$. $x_1 = (2-16)/2 = -7$, $x_2 = (2+16)/2 = 9$. Решение: $(-\infty; -7) \cup (9; +\infty)$. 3. Объединение решений: $(-\infty; 3] \cup (-\infty; -7) \cup (9; +\infty) = (-\infty; 3] \cup (9; +\infty)$. **Ответ:** $(-\infty; 3] \cup (9; +\infty)$