На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число 528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?

Давай решим эту задачу. Пусть исходное число равно $X$. По условию задачи, из него вычли сумму его цифр, и получилось число 528. Это значит, что $X - S(X) = 528$, где $S(X)$ — сумма цифр числа $X$. Вспомним важное свойство: любое число при вычитании из него суммы его цифр дает число, кратное 9 (делится на 9 без остатка). Давай проверим, делится ли 528 на 9: $5 + 2 + 8 = 15$. Число 15 не делится на 9 нацело. Значит, 528 не кратно 9. Почему так вышло? Потому что Ира стерла одну цифру из результата! Пусть $Y$ — это полное число (до того, как стерли цифру), а $Z$ — это наше 528 после стирания. Исходное число $X$ было четырехзначным, а $X - S(X)$ всегда дает число, которое при делении на 9 дает остаток 0. Значит, $Y$ тоже должно делиться на 9. Давай подставим стертую цифру на разные места в число 528: - Если вставим цифру $d$ в число 528 (получим $d528$, $5d28$, $52d8$ или $528d$), число должно делиться на 9. - Сумма цифр числа $528 + d$ должна делиться на 9. - Сумма цифр текущего числа равна $5+2+8 = 15$. - Чтобы число делилось на 9, сумма должна быть 18 или 27. - $15 + d = 18 \Rightarrow d = 3$. Проверим: если число было, например, 5328, то $5328 - (5+3+2+8) = 5328 - 18 = 5310$. Число 5310 делится на 9. Значит, Ира стерла цифру 3. **Ответ: 3**