1. MN и NK – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O, ∠MNK = 90°. Найдите радиус окружности, если ON = 2√2 см.

### Решение задачи 1 Дано: $MN$ и $NK$ — касательные к окружности с центром $O$. $\angle MNK = 90^\circ$. $ON = 2\sqrt{2}$ см. Найти: радиус окружности $r$. 1. Пусть точки касания — $A$ (на $MN$) и $B$ (на $NK$). Тогда радиусы $OA \perp MN$ и $OB \perp NK$. 2. Получаем четырехугольник $ONAM$ (или просто $OMNK$ зависит от обозначений, здесь $O$ — центр, $N$ — общая точка касательных). Так как $\angle MNK = 90^\circ$ и углы при точках касания прямые ($90^\circ$), фигура $OANK$ (где $A, B$ — точки касания) является квадратом со стороной $r$. 3. $ON$ — это диагональ квадрата со стороной $r$. По теореме Пифагора или свойству диагонали квадрата: $ON = r\sqrt{2}$. 4. По условию $ON = 2\sqrt{2}$. Тогда $r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, откуда $r = 2$ см. **Ответ: 2 см.** :::div .chart-container @chart-1::: ### Решение задачи 2 Дано: Равносторонний треугольник $ABC$. Окружности с центрами в вершинах $A, B, C$ имеют радиусы $R = h$, где $h$ — высота (она же биссектриса и медиана) треугольника. 1. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Это и есть радиус каждой окружности. 2. Расстояние от вершины (например, $A$) до противоположной стороны (прямой $BC$) равно высоте $h$. 3. Так как расстояние от центра окружности (вершины $A$) до прямой $BC$ равно радиусу ($h$), то по признаку касательной, сторона $BC$ является касательной к окружности с центром $A$. 4. Аналогично для сторон $AB$ и $AC$ относительно окружностей с центрами в $C$ и $B$ соответственно. :::div .chart-container @chart-2:::