На рисунке изображён граф. Катя обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. Начав она в вершине D. В какой вершине Катя закончила обводить граф?

### Решение задания 11 Для того чтобы обойти граф, не отрывая карандаша и не проводя по ребру дважды (нарисовать Эйлеров путь), нужно посчитать степени всех вершин (количество ребер, выходящих из каждой вершины): 1. Вершина A: 2 ребра (степень 2) 2. Вершина G: 4 ребра (степень 4) 3. Вершина B: 4 ребра (степень 4) 4. Вершина F: 4 ребра (степень 4) 5. Вершина O: 4 ребра (степень 4) 6. Вершина E: 4 ребра (степень 4) 7. Вершина H: 4 ребра (степень 4) 8. Вершина K: 4 ребра (степень 4) 9. Вершина C: 2 ребра (степень 2) 10. Вершина D: 2 ребра (степень 2) В графе всего 3 вершины с нечетной степенью? Нет, пересчитаем внимательнее. Степени всех вершин четные, кроме, возможно, тех, что на концах. На самом деле, в этой фигуре степени вершин: - A: 2 - G: 4 - B: 4 - F: 4 - O: 4 - E: 4 - H: 4 - K: 4 - C: 2 - D: 2 Поскольку у всех вершин степень четная, то согласно теореме Эйлера, такой граф можно обвести, начав в любой вершине и закончив в ней же (Эйлеров цикл). Однако в условии сказано, что Катя начала в D и не провела ни одно ребро дважды. Если она закончила в вершине, отличной от D, значит, граф должен иметь ровно две вершины с нечетной степенью. Посмотрим на граф еще раз. У вершин A, C, D степени действительно 2 (четные), остальные тоже четные. Значит, это Эйлеров цикл. Если Катя начала в D, она должна закончить в D. **Ответ: D** ### Решение задания 12 1) «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то окружности не пересекаются». Это верное утверждение. 2) «Если два угла треугольника равны $40^\circ$ и $80^\circ$, то третий угол равен $70^\circ$». Сумма углов треугольника $180^\circ$. $180 - (40 + 80) = 180 - 120 = 60^\circ$. Утверждение ложно, так как третий угол равен $60^\circ$, а не $70^\circ$. 3) «Вертикальные углы равны». Это верное утверждение. Ложным является утверждение под номером 2. **Ответ: 2**