Question

Задумали двузначное число, которое делится на 12. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое даёт остаток 3 при делении на 9. Какое число задумали?

Accepted Answer

Пусть задуманное двузначное число равно $x$. Так как $x$ делится на 12, возможные варианты: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

Пусть последняя цифра числа $x$ равна $d$. При приписывании цифры $d$ справа число становится равным $10x + d$.

По условию, полученное число дает остаток 3 при делении на 9, то есть $(10x + d) \equiv 3 \pmod{9}$. Так как $10x \equiv x \pmod{9}$, получаем $x + d \equiv 3 \pmod{9}$.

Проверим каждый вариант:
1. $x=12, d=2$: $12+2=14$. $14 \equiv 5 \pmod{9}$ (не подходит).
2. $x=24, d=4$: $24+4=28$. $28 \equiv 1 \pmod{9}$ (не подходит).
3. $x=36, d=6$: $36+6=42$. $42 \equiv 6 \pmod{9}$ (не подходит).
4. $x=48, d=8$: $48+8=56$. $56 \equiv 2 \pmod{9}$ (не подходит).
5. $x=60, d=0$: $60+0=60$. $60 \equiv 6 \pmod{9}$ (не подходит).
6. $x=72, d=2$: $72+2=74$. $74 \equiv 2 \pmod{9}$ (не подходит).
7. $x=84, d=4$: $84+4=88$. $88 \equiv 7 \pmod{9}$ (не подходит).
8. $x=96, d=6$: $96+6=102$. $102 = 90 + 12 = 90 + 9 + 3$. Значит, $102 \equiv 3 \pmod{9}$ (подходит).

Задуманное число — 96.

Ответ: 96

Ответ ассистента

Другие решения