54. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН=4, АС=16.

### Решение задач 54-56 (свойства прямоугольного треугольника) В прямоугольном треугольнике ABC с высотой BH, проведённой к гипотенузе AC, катет AB является средним пропорциональным между проекцией катета (AH) и всей гипотенузой (AC). Формула: $AB = \sqrt{AH \cdot AC}$. 1. **Задача 54:** $AH=4, AC=16$. $AB = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$. **Ответ: 8.** 2. **Задача 55:** $AH=3, AC=27$. $AB = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$. **Ответ: 9.** 3. **Задача 56:** $AH=7, AC=28$. $AB = \sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{196} = 14$. **Ответ: 14.** ### Решение задач 57-59 (трапеция) Проведем высоты $AE$ и $DF$ к основанию $BC$ (или $AD$). Так как трапеция определяется углами, удобнее найти $AB$ через проекции и синусы углов. Для трапеции $ABCD$ (где $AB$ — боковая сторона, $\angle B = 60^\circ, \angle C = 135^\circ$): опустим высоту $AE$ из $A$ на $BC$ и $DF$ из $D$ на $BC$ (или работаем с высотами из вершин $A$ и $D$ на $BC$). Более универсальный метод для этих задач: опустить высоту из вершин тупых углов или использовать теорему синусов, но проще всего через прямоугольный треугольник, образованный высотой. 4. **Задача 57:** $\angle B=60^\circ, \angle C=135^\circ, CD=36$. Опустим высоту $h$ из $D$ на $BC$. В $\triangle DCF$ (прямоугольный): $\angle DCF = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. $h = CD \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$. Теперь для $\triangle ABE$ (где $\angle B=60^\circ$): $AB = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{6}$. **Ответ: $12\sqrt{6}$.** 5. **Задача 58:** $\angle B=60^\circ, \angle C=135^\circ, CD=24$. Аналогично: $h = 24 \cdot \sin(45^\circ) = 12\sqrt{2}$. $AB = \frac{12\sqrt{2}}{\sin(60^\circ)} = \frac{12\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{6}$. **Ответ: $8\sqrt{6}$.** 6. **Задача 59:** $\angle B=60^\circ, \angle C=150^\circ, CD=33$. Опустим высоту из $D$. $\angle DCF = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. $h = CD \cdot \sin(30^\circ) = 33 \cdot 0,5 = 16,5$. $AB = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{16,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{33}{\sqrt{3}} = 11\sqrt{3}$. **Ответ: $11\sqrt{3}$.**